Rozwiąż równaie:z góry dziękuje.... Question from @XDnika

September 2018 1 25 Report

Rozwiąż równaie:

$a) \sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} =2\sqrt{x} \\ b) \sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} =6 \\ c)\sqrt{1-3x} +3 +x=0\\ d) 3(x+2)=\sqrt{22-9x}$

z góry dziękuje

Roma

$\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} =2\sqrt{x}$

Ustalamy dziedzinę (zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia występujące w równaniu mają sens liczbowy):

3x + 4 ≥ 0 i x - 4 ≥ 0 i x ≥ 0

3x + 4 ≥ 0

3x ≥ - 4 /:3

x ≥ - ⁴/₃

x ≥ - 1⅓

x - 4 ≥ 0

x ≥ 4

x ≥ 0

Zatem: x ≥ 4

$D = \langle4; \ \infty)$

$\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} =2\sqrt{x} \ /^2$

Możemy podnieść do kwadratu obie strony, bo są one nieujemne

$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 =(2\sqrt{x})^2$

$(\sqrt{3x+4})^2 + 2 \cdot \sqrt{3x+4} \cdot \sqrt{x-4} + (\sqrt{x-4})^2 = 4 \cdot x$

$3x+4 + 2 \cdot \sqrt{(3x+4)(x-4)} + x-4 = 4x$

$4x + 2 \cdot \sqrt{3x^2 - 12x +4x-16} = 4x$

$2 \cdot \sqrt{3x^2 - 8x-16} = 4x - 4x$

$2 \cdot \sqrt{3x^2 - 8x-16} =0 / \ : \ 2$

$\sqrt{3x^2 - 8x-16} =0 \ /^2$

Możemy podnieść do kwadratu obie strony, bo są one nieujemne

$3x^2 - 8x-16 =0$

$a = 3; \ b = - 8; \ c =-16$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256; \ \sqrt{\Delta} = 16$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8-16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = \frac{-4}{3} = -1\frac{1}{3} \not \in D$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8+16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \in D$

Odp. $x = 4$

$\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} =6$

Ustalamy dziedzinę:

15 - x ≥ 0 i 3 - x ≥ 0

15 - x ≥ 0

-x ≥ - 15 /·(-1)

x ≤ 15

3 - x ≥ 0

-x ≥ - 3 /·(-1)

x ≤ 3

Zatem: x ≤ 3

$D = (-\infty; \ 3 \rangle$

$\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} = 6 \ /^2$

Możemy podnieść do kwadratu obie strony, bo są one nieujemne

$(\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x})^2 = 6^2$

$(\sqrt{15-x})^2 + 2 \cdot (\sqrt{15-x})(\sqrt{3-x}) +(\sqrt{3-x})^2 = 6^2$

$15-x + 2 \cdot \sqrt{(15-x)(3-x)} +3-x = 36$

$18-2x + 2 \cdot \sqrt{45-15x-3x+x^2}= 36$

$2 \cdot \sqrt{x^2-18x+45}= 36- 18+2x$

$2 \cdot \sqrt{x^2-18x+45}= 2x + 18 \ / \ : \ 2$

$\sqrt{x^2-18x+45}= x + 9$

Aby podnieść do kwadratu obie strony równania, muszą być one nieujemne. Lewa jest nieujemna, bo pierwiastek kwadratowy jest nieujemny, czyli sprawdzamy dla jakiego x, prawa strona jest nieujemna:

x + 9 ≥ 0

x ≥ -9

$\sqrt{x^2-18x+45}= x + 9 \ /^2$

$(\sqrt{x^2-18x+45})^2= (x + 9)^2$

$x^2-18x+45 = x^2 + 18x + 81$

$x^2-18x- x^2 - 18x = 81- 45$

$- 36x = 36 \ / \ : \ (-36)$

$x = - 1 \geq - 9\ i \ x \in D$

Odp. $x = - 1$

$\sqrt{1-3x} +3 +x=0$

Ustalamy dziedzinę:

1-3x ≥ 0

-3x ≥ - 1 /:(-3)

x ≤ ⅓

$D = (-\infty; \ \frac{1}{3} \rangle$

$\sqrt{1-3x} +3 +x=0$

$\sqrt{1-3x} = -x-3$

- x - 3 ≥ 0

- x ≥ 3 /·(-1)

x ≤ - 3

$\sqrt{1-3x} = -x-3 \ /^2$

$(\sqrt{1-3x})^2 =( -x-3)^2$

$1-3x =( -x)^2-2 \cdot (-x) \cdot 3 + 3^2$

$1-3x = x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 6x + 9-1+3x=0$

$x^2 + 9x + 8 = 0$

$a = 1; \ b = 9; \ c =8$

$\Delta = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49; \ \sqrt{\Delta} = 7$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-9-7}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \leq -3 \ i \ x_1 \in D$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-9+7}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \in D, \ i \ x_2 \geq - 3$

Odp. $x = - 8$

$3(x+2)=\sqrt{22-9x}$

Ustalamy dziedzinę:

22 - 9x ≥ 0

-9x ≥ - 22 /:(-9)

x ≤ ⁻²²/₋₉

x ≤ 2⁴/₉

$D = (-\infty; \ 2\frac{4}{9} \rangle$

$3(x+2)=\sqrt{22-9x}$

Aby podnieść do kwadratu obie strony równania, muszą być one nieujemne. Prawa jest nieujemna, bo pierwiastek kwadratowy jest nieujemny, czyli sprawdzamy dla jakiego x, lewa strona jest nieujemna:

3·(x + 2) ≥ 0

3x + 6 ≥ 0

3x ≥ - 6 /:3

x ≥ - 2

$3(x+2)=\sqrt{22-9x} \ /^2$