Rozwiąż graficznie następujące nierówności:a)z góry dziękuje.... Question from @XDnika

XDnika @XDnika

September 2018 1 21 Report

Rozwiąż graficznie następujące nierówności:

a) $x^{2}-6x+9\leq-x+5;\\</p> <p>b) -x^{2}-1<-x-3;\\</p> <p>c) x^{2}+2x-3\geq -2x-3;\\ d) x-8<x^{2}+x-6$

z góry dziękuje

Roma

a) x² - 6x + 9 ≤ - x + 5

f(x)= x² - 6x + 9 - jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o równaniu y = x² - 6x + 9.

g(x) = - x - 5 jest to funkcja liniowa, której wykresem jest prosta o równaniu

y = - x + 5.

Zatem rozwiązaniem nierówności będą argumenty x, dla których wartości funkcji kwadratowej f(x) są mniejsze lub równe wartościom funkcji liniowej: f(x) ≤ g(x)

Aby narysować parabolę y = x² - 6x + 9 wyznaczamy punkty należące do niej, a szczególnie wierzchołek i punkty przecięcia z osiami.

a = 1 > 0, więc ramiona paraboli są skierowane do góry

Δ = 36 - 36 = 0, czyli parabola ma jeden punkt wspólny z osią Ox

y = 0 ⇒ x = 6 / 2 = 3, czyli punkt (3; 0)

$W = (p; \ q) = (\frac{-b}{2a}; \ \frac{-\Delta}{4a}) = (\frac{6}{2}; \frac{0}{4}) = (3; \ 0)$

punkt przecięcią z osią Oy: (0; c) = (0; 9)

Dlatego, że parabola ma tylko jeden punkt wspólny z osią Ox, który pokrywa się z wierzchołkiem, to można wyznaczyć dodatkowy punkt, np. x = 4 ⇒ y = 4² - 6·4 - 9 = 16 - 24 + 9 = 1, czyli punkt (4; 1)

Aby narysować prostą y = - x + 5 wystarczy wyznaczyć dwa punkt, które do niej należą:

x = 0 ⇒ y = - 0 + 5 = 5, czyli punkt (0; 5)

x = 1 ⇒ y = - 1 + 5 = 4, czyli punkt (1; 4)

Rysujemy wykresy w układzie współrzędnych i odczytujemy rozwiązanie (patrz załącznik):

$x \in \langle1; \ 4 \rangle$

b) - x² - 1 < - x - 3

f(x) = - x² - 1 - funkcja kwadratowa, wykresem jest parabola o równaniu

y = - x² - 1

g(x) = - x - 3 jest to funkcja liniowa, której wykresem jest prosta o równaniu

y = - x - 3.

Zatem rozwiązaniem nierówności będą argumenty x, dla których wartości funkcji kwadratowej f(x) są mniejsze od wartości funkcji liniowej: f(x) < g(x)

Parabola: y = - x² - 1

a = - 1 < 0, czyli ramiona parabola skierowane w dół

Δ = 0² - 4 = - 4 < 0, czyli parabola nie ma punktów wspólnych z osią Ox

$W = (p; \ q) = (\frac{-b}{2a}; \ \frac{-\Delta}{4a}) = (\frac{0}{-2}; \frac{4}{-4}) = (0; \ -1)$

punkt przeciecią z osią Oy: (0; c) = (0; - 1)

Dlatego, że parabola nie ma punktów wspólnych z osią Ox i wierzchołek pokrywa się z punktem przecięcia z osią Oy to można wyznaczyć dodatkowe punkty, np. dla x = - 1 ⇒ y = -(-1)² - 1 = - 1 - 1 = - 2, czyli punkt (- 1; - 2) oraz dla x = 1 ⇒ y = - 1² - 1 = - 1 - 1 = - 2, czyli punkt (1; - 2)

Prosta: y = - x - 3, wyznaczmy punkty należące do prostej

x = 0 ⇒ y = 0 - 3 = - 3, czyli punkt (0; - 3)

x = 1 ⇒ y = - 1 - 3 = - 4, czyli punkt (1; - 4)

Rysujemy wykresy w układzie współrzędnych i odczytujemy rozwiązanie (patrz załącznik):

$x \in (-\infty; \ - 1) \cup (2; \ + \infty)$

c) x² + 2x - 3 ≥ - 2x - 3

f(x)= x² + 2x - 3 - jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola o równaniu y = x² + 2x - 3.

g(x) = - 2x - 3 jest to funkcja liniowa, której wykresem jest prosta o równaniu

y = - 2x - 3.

Zatem rozwiązaniem nierówności będą argumenty x, dla których wartości funkcji kwadratowej f(x) są większe lub równe wartościom funkcji liniowej: f(x) ≥ g(x)

Parabola: y = x² + 2x - 3

a = 1 > 0, czyli ramiona parabola skierowane w górę

Δ = 2² + 12 = 4 + 12 = 16, czyli parabola ma punktów dwa punkty wspólne z osią Ox

x₁ = - 2 - 4 / 2 = - 3, czyli punkt (- 3; 0)

x₂ = - 2 + 4 / 2 = 1, czyli punkt (1; 0)

$W = (p; \ q) = (\frac{-b}{2a}; \ \frac{-\Delta}{4a}) = (\frac{-2}{2}; \frac{-16}{4}) = (- 1; \ -4)$