1) Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania?a)(m-2)x^{2} + (m+5)x-m-1=0b)(m.... Question from @XDnika

September 2018 1 33 Report

1) Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania?

a)(m-2)x^{2} + (m+5)x-m-1=0

b)(m+2)x^{2} -2x+m+2=0

c)mx^{2}-(m+1)x-2m+3=0 2) Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m(m należy do R). Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y=g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania:

a)(m-5)x^{2}-4mx+m-2=0

b)(m-3)x^{2}+(m-2)x+1=0

c)(m-1)x^{2}-(m+1)x+m+1=0

Roma

Zad. 1

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania?

Aby równanie miało dwa rozwiązania musi być kwadratowe, czyli współczynnik przy 2-giej potędze argumentu x musi być różny od zera (a ≠ 0) oraz wyróżnik musi być większy od zera (Δ > 0).

$(m-2)x^2 + (m+5)x-m-1=0$

$a \neq 0$

$m-2 \neq 0$

$m \neq 2$

Zatem:

$a \neq 0 \ dla \ m \neq 2$

$\Delta > 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (m+5)^2 - 4 \cdot (m - 2)(-m - 1) = m^2 + 10m + 25$

$- 4 \cdot (-m^2 - m + 2m + 2) = m^2 + 10m + 25 - 4 \cdot (-m^2 + m + 2) =$

$= m^2 + 10m + 25 +4m^2 -4m - 8 = 5m^2 + 6m + 17$

$5m^2 + 6m + 17 > 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 17 = 36 - 340 = - 304 < 0$

$a = 5 > 0$ , czyli parabola ma ramiona skierowane w górę i leży nad osią Ox. Zatem:

$\Delta > 0 \ dla \ m \in R$

Uwzględniając oba warunki równanie $(m-2)x^2 + (m+5)x-m-1=0$ ma dwa różne rozwiązania dla $m \neq 2$

b)

$(m+2)x^2 -2x+m+2=0$

$a \neq 0$

$m + 2 \neq 0$

$m \neq - 2$

Zatem:

$a \neq 0 \ dla \ m \neq - 2$

$\Delta > 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot (m + 2)(m + 2) = 4 - 4 \cdot (m^2 + 4m + 4) =$

$= 4 - 4m^2 -16m -16 = - 4m^2 -16m -12$

$- 4m^2 -16m -12 > 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-12) = 256 - 192 = 64; \ \sqrt{\Delta} = 8$

$m_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 - 8}{2 \cdot (-4)} = \frac{8}{-8} = - 1$

$m_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 + 8}{2 \cdot (-4)} = \frac{24}{-8} = - 3$

$a = - 4 < 0$ , czyli ramiona paraboli skierowane w dół.

Zatem:

$\Delta > 0 \ dla \ m \in (-3; \ -1)$

Uwzględniając oba warunki równanie $(m+2)x^2 -2x+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania dla $m \in (-3; \ -2) \cup (-2; \ - 1)$

c)

$mx^2-(m+1)x-2m+3=0$

$a \neq 0$

$m \neq 0$

Zatem:

$a \neq 0 \ dla \ m \neq 0$

$\Delta > 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-(m+1))^2 - 4 \cdot m \cdot (-m + 3) = (m+1)^2 + 4m^2 -12m=$

$= (m+1)^2 + 4m^2 -12m= m^2 + 2m + 1 + 4m^2 -12m = 5m^2 -10m + 1$

$5m^2 -10m + 1 > 0$

$Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 100 - 20 = 80; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{80} =$

$=\sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5}$

$m_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 - 4 \sqrt{5} }{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot (5 - 2 \sqrt{5} )}{10} = \frac{5 - 2 \sqrt{5}}{5}$

$m_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 + 4 \sqrt{5} }{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot (5 + 2 \sqrt{5} )}{10} = \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}$

$a = 5 > 0$ , czyli parabola ma ramiona skierowane w górę.

Zatem:

$\Delta > 0 \ dla \ m \in (- \infty; \ \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}) \cup ( \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}; \ +\infty)$

Uwzględniając oba warunki równanie $mx^2-(m+1)x-2m+3=0$ ma dwa różne rozwiązania dla $m \in (- \infty; 0) \cup (0; \ \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}) \cup ( \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{5}; \ +\infty)$

Zad. 2

Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m(m należy do R). Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y=g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 zależy od wartości wyróżnika Δ = b² - 4ac:

Δ < 0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązań

Δ = 0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie

Δ > 0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

Jednak najpierw trzeba sprawdzić dla jakich m, równanie nie jest kwadratowe i ile ma wtedy rozwiązań.

Liczba rozwiązań równania liniowego ax + b = 0 zależy od wartości współczynników a i b:

a ≠ 0 równanie liniowe ma jedno rozwiązanie

a = 0 i b = 0 równanie liniowe ma nieskończenie wiele rozwiązań

a = 0 i b ≠ 0 równanie liniowe nie ma rozwiązań

a)

$(m-5)x^2-4mx+m-2=0$

Równanie nie będzie kwadratowe dla:

$m - 5 = 0$

$m = 5$

Sprawdzamy ile będzie miało wtedy rozwiązań.

$(5-5)x^2-4\cdot 5 \cdot x+5-2=0$

$-20x+3=0$

$a = - 20 \neq 0$ , czyli dla m = 5 równanie ma 1 rozwiązanie

$\Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot (m - 5)(m - 2) = 16m^2 - 4 \cdot (m^2 - 2m - 5m + 10) =$

$= 16m^2 - 4 \cdot (m^2 - 7m + 10) = 16m^2 - 4m^2 + 28m - 40 = 12m^2 + 28m - 40$

Sprawdzamy dla jakich m wyróżnik Δ jest równy zero, większy od zera i mniejszy od zera.

$12m^2 + 28m - 40$

$\Delta = 28^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-40) = 784 + 1920 = 2704; \sqrt{\Delta} = 52$

$m_1 = \frac{-28 -52}{2 \cdot 12} = \frac{-80}{24} = -\frac{10}{3}$

$m_2 = \frac{-28 +52}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$

Zaznaczamy wartości m na osi i rysujemy przyblizony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie, pamietając o ustaleniu dla jakiego m dane równanie nie jest kwadratowe.

Zatem ilość rozwiązań równania wyraża się wzorem:

$g(m) = \begin{cases} 0 \ dla \ m \in (-\frac{10}{3}; \ 1)\\1 \ dla \ m \in \{-\frac{10}{3}; \ 1; \ 5\}\\2 \ dla \ m \in (-\infty; -\frac{10}{3}) \cup (1; \ 5) \cup (5; \ +\infty) \end{cases}$

Rysujemy wykres funkcji g(m) - patrz załącznik

b)

$(m-3)x^2+(m-2)x+1=0$

Równanie nie będzie kwadratowe dla:

$m - 3 = 0$

$m = 3$

Sprawdzamy ile będzie miało wtedy rozwiązań

$(3-3)x^2+(3-2)x + 1 = 0$

$x+1=0$

$a = 1 \neq 0$ , czyli dla m = 3 równanie ma 1 rozwiązanie

$\Delta = (m-2)^2 - 4 \cdot (m - 3) \cdot 1 = m^2 - 4m + 4 - 4m + 12 = m^2 -8m + 16$

Sprawdzamy dla jakich m wyróżnik Δ jest równy zero, większy od zera i mniejszy od zera.

$m^2 - 8m + 16$

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

$m_1 = \frac{8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Zaznaczamy wartości m na osi i rysujemy przyblizony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie, pamietając o ustaleniu dla jakiego m dane równanie nie jest kwadratowe.

Zatem ilość rozwiązań równania wyraża się wzorem:

$g(m) = \begin{cases} 0 \ dla \ m \in \emptyset \\1 \ dla \ m \in \{3; \ 4\}\\2 \ dla \ m \in R \backslash \{3; \ 4\} \end{cases}$

Rysujemy wykres funkcji g(m) - patrz załącznik

c)

$(m-1)x^2-(m+1)x+m+1=0$

Równanie nie będzie kwadratowe dla:

$m - 1 = 0$

$m = 1$

Sprawdzamy ile będzie miało wtedy rozwiązań.

$(1-1)x^2- (1+1)\cdot x+1+1=0$

$-2x+2=0$

$a = - 2 \neq 0$ , czyli dla m = 1 równanie ma 1 rozwiązanie

$\Delta = (-m-1)^2 - 4 \cdot (m - 1)(m + 1) = m^2 + 2m + 1 - 4 \cdot (m^2 - 1) =$

$= m^2 + 2m + 1 - 4m^2 +4 = -3m^2 + 2m + 5$

Sprawdzamy dla jakich m wyróżnik Δ jest równy zero, większy od zera i mniejszy od zera.

$-3m^2 + 2m + 5$

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 +60 = 64; \sqrt{\Delta} = 8$

$m_1 = \frac{-2 -8}{2 \cdot (-3)} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}$

$m_2 = \frac{-2 +8}{2 \cdot (-3)} = \frac{6}{-6} = -1$

Zaznaczamy wartości m na osi i rysujemy przyblizony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie, pamietając o ustaleniu dla jakiego m dane równanie nie jest kwadratowe.

Zatem ilość rozwiązań równania wyraża się wzorem:

$g(m) = \begin{cases} 0 \ dla \ m \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; \ +\infty)\\1 \ dla \ m \in \{-1; \ 1; \ -\frac{5}{3}\}\\2 \ dla \ m \in (-1; 1) \cup (1; \ \frac{5}{3}) \end{cases}$