Zbadaj zbieżność szeregów. (bez użycia kryterium całkowego!) (załącznik) cz1 Proszę pisać na podstaw.... Question from @Ostry4444

January 2019 1 19 Report

Zbadaj zbieżność szeregów. (bez użycia kryterium całkowego!) (załącznik) cz1
Proszę pisać na podstawie jakiego kryterium stwierdzono zbieżność/ rozbieżność.

Paawełek Hej, niestety w 100% potrafię zrobić tylko tę część wrzuconych przez Ciebie zadań :( jeżeli nie otrzymałbyś pomocy, mógłbym na priv dać Ci znać, które jeszcze przykłady z Twojej listy byłbym w stanie zrobić, jeśli chcesz :)

Szereg 1: kryterium Cauchy'ego.

$2^n \cdot \left( \dfrac{n}{n+1}\right)^{n^2}= 2^n \cdot \left[ \left( \dfrac{n}{n+1}\right)^2\right]^n= \left( 2 \cdot \dfrac{n^2}{(n+1)^2}\right)^n= \\ \\ = \left( \dfrac{2n^2}{n^2+2n+1}\right)^n \\ \\ \\ \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \left(\dfrac{2n^2}{n^2+2n+1}\right)^n\right|}=\lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac{2n^2}{n^2+2n+1}\right|=\\ \\ =\dfrac{2}{1}=2\ \textgreater \ 1$

Granica większa jest od 1, zatem szereg jest rozbieżny.

Szereg 2: kryterium Cauchy'ego.

Wykorzystam wzór Stirlinga mówiący, że dla ogromnych n (więc tym bardziej gdy $n \to \infty$ ) przybliżenie n! wynosi $n! \approx \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2\pi n}$

Stąd:

$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left| \dfrac{2^nn!}{n^n} \right|}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \left( \dfrac{2}{n}\right)^n \cdot \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2\pi n}\right|}= \\ \\ = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac{2}{n} \cdot \dfrac{n}{e} \cdot 1\right|= \dfrac{2}{e} \approx \dfrac{2}{2,73} \ \textless \ 1$

Granica jest mniejsza niż 1, więc szereg jest zbieżny.

Szereg 3: Kryterium Cauchy'ego

$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \dfrac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}\right|}=\lim\limits_{n\to\infty} \left| \dfrac{1}{2+\frac{1}{n}}\right|= \dfrac{1}{2}\ \textless \ 1$

Również jest zbieżny.

Szereg 4: Kryterium porównawcze.

Wychodzimy z najprostszej na świecie nierówności:

$(-1)^n \le 1 \qquad |+2 \\ \\ 2+(-1)^n \le 3 \qquad /:2^n \\ \\ \dfrac{2+(-1)^n}{2^n} \le\dfrac{3}{2^n}$

Szereg $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{2^n}$ jest zbieżnym szeregiem geometrycznym o ilorazie q = 0.5, zatem na podstawie kryterium porównawczego Twój szereg jest zbieżny.

Szereg 5: kryterium porównawcze.

Wzór: $a-b= \dfrac{a^2-b^2}{a+b}.$

$\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\frac{n+2-n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}{\sqrt{n+1}}= \dfrac{2}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}$

Tworzymy takie nierówności:

$\sqrt{n+2} \le \sqrt{n+2} \\ \sqrt{n} \le \sqrt{n+2} \\ \\ \hbox{Stad dostajemy:} \ \ \sqrt{n+2}+\sqrt{n} \le 2\sqrt{n+2}. \\ \\ \hbox{Ponadto} \ \ \sqrt{n+1} \le \sqrt{n+2} \ \ \hbox{a stad juz:} \\ \\ \sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+2} +\sqrt{n}) \le 2 \sqrt{n+2} \cdot \sqrt{n+2} \\ \\ \sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+2} +\sqrt{n}) \le 2(n+2)\qquad /(...)^{-1} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+2} +\sqrt{n})} \ge \dfrac{1}{2(n+2)} \qquad /\cdot 2 \\ \\$

$\dfrac{2}{\sqrt{n+1} \cdot (\sqrt{n+2} +\sqrt{n})} \ge \dfrac{1}{n+2}$

Szereg po prawej stronie jest rozbieżny, zatem Twój szereg na podstawie kryterium porównawczego jst rozbieżny.

Skąd wiadomo, że szereg po prawej stronie jest rozbieżny? To proste! Skoro wiemy, że $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}=+\infty,$ ponieważ jest rozbieżny, to mamy:

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...=-\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...= \\ \\ = -\dfrac{3}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}=[-1.5+\infty]=+\infty$

Szereg 6: kryterium porównawcze.

$\dfrac{1}{n\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2}\right)}= \dfrac{1}{n \cdot \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}}} = } \dfrac{1}{\frac{n^2}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}}}=\\ \\ =\dfrac{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}}{n^2}$

Teraz tworzymy proste nierówności:

$\sqrt{n^2} \ge \sqrt{n^2}=n \ \ \ \hbox{(pamietamy, ze n jest dodatnie)} \\ \sqrt{n^2+n} \ge \sqrt{n^2}=n \\ \\ \\ \sqrt{n^2}+\sqrt{n^2+n} \ge 2n \qquad /:n^2 \\ \\ \dfrac{\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2+n}}{n^2} \ge \dfrac{2}{n}$

Po prawej stronie szereg rozbieżny (harmoniczny rzędu alfa = 1), więc szereg również rozbieżny na podstawie kr. porównawczego

Pozdrawiam

1 votes Thanks 0