Oblicz granice funkcji. (załącznik) Bez użycia pochodnych. cz1.... Question from @Ostry4444

January 2019 1 14 Report

Oblicz granice funkcji. (załącznik) Bez użycia pochodnych. cz1

Paawełek Oczywiście pierwsze dwa zadania polegają tylko na usunięciu niewymierności z mianownika:

$\lim\limits_{x\to4} \dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\lim\limits_{x\to4} \dfrac{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\\ \\ \\ = \lim\limits_{x\to4} \dfrac{(2x-8)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\lim\limits_{x\to4} \dfrac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}= \\ \\ \\ =\lim\limits_{x\to4} \dfrac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{2x+1}+3}= \dfrac{2 \cdot (\sqrt{4}+2)}{\sqrt{9}+3}=\dfrac{4}{3}.$

Tu tylko rozszerzyłem licznik i mianownik przez $(\sqrt{2x+1}+3)(\sqrt{x}+2)$ i poupraszczałem ze wzoru skróconego mnożenia

W 2) użyjemy wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3.

$\lim\limits_{x\to -8} \dfrac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}=\\ \\ \\ =\lim\limits_{x\to -8} \dfrac{(\sqrt{1-x}-3)(\sqrt{1-x}+3)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt{1-x}+3)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}= \\ \\ \\ =\lim\limits_{x\to-8} \dfrac{-(x+8)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{(x+8)(\sqrt{1-x}+3)}=\lim\limits_{x\to-8} \dfrac{-(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt{1-x}+3}=\\ \\ \\ =-\dfrac{\sqrt[3]{64}-2\sqrt[3]{-8}+4}{\sqrt{9}+3}=-2$

W szeregu 4. przyda nam się już tożsamość trygonometryczna:

$\cos x - \cos y = -2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}.$

Stąd

$\cos x-\cos(3x)=-2\sin \dfrac{x+3x}{2}\sin \dfrac{x-3x}{2}= \\ \\ =-2\sin(2x)\sin(-x)=2\sin(2x) \cdot \sin x$

Dalej wykorzystamy wzór, który powinieneś wykuć: $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\sin x}=1$

No to jedziemy:

$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\cos x - \cos(3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to0} \dfrac{2 \sin(2x) \cdot \sin x}{x^2}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{4 \sin (2x) \cdot \sin x}{2x \cdot x}=4\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin(2x)}{2x} \cdot \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x}= \\ \\ = 4 \cdot 1 \cdot 1=1$

W granicy 5 wykorzystamy fakt, że $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\hbox{tg} \ x}=1$ (spróbuj to udowodnić na podstawie powyższego wzoru). Na podstawie wzoru tg x = 1/ctg x mamy:

$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\hbox{tg} \ x}=\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\dfrac{1}{\hbox{ctg} \ x}}=\lim\limits_{x\to0} (x \ \hbox{ctg} \ x)=1$

I już łatwo:

$\lim\limits_{x\to0}[ x \ \hbox{ctg}(3x)]=\dfrac{1}{3} \cdot \lim\limits_{x\to0} [3x \cdot \hbox{ctg}(3x)]= \dfrac{1}{3} \cdot 1= \dfrac{1}{3}.$

W ostatnim dokonajmy podstawienia t = 1-x (skąd x=1-t). Skoro $x \to 1$ to po tym podstawieniu $t \to 0.$ Otrzymamy równoznaczną granicę:

$\lim\limits_{t\to0} \left[t \cdot \hbox{tg} \ \left( \frac{\pi(1-t)}{2}\right)\right]=\lim\limits_{t\to0} \left[ t \cdot \hbox{tg} \ \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi t}{2}\right)\right]=... \\ \\ \hbox{Wykorzystuje wzor redukcyjny} \ \ \hbox{tg} \ \left( \frac{\pi}{2}-x\right)=\hbox{ctg} \ x \\ \\ ...=\lim\limits_{t\to0} \left[ t \cdot \hbox{ctg} \ \left(\frac{\pi t}{2}\right)\right]=\dfrac{2}{\pi} \cdot \lim\limits_{t\to0} \left[ \dfrac{\pi t}{2} \cdot \hbox{ctg} \left( \dfrac{\pi t}{2}\right)\right]=$

$= \dfrac{2}{\pi} \cdot 1 = \dfrac{2}{\pi}$

2 votes Thanks 1