Question

Równanie x⁵-5x³+4x=0 :

a)nie ma pierwiastków rzeczywistych

b)ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty

c)ma pięć pierwiastków będących liczbami rzeczywistymi

d)ma dokladnie 3 pierwiastki rzeczywiste

Prosze o rozpisanie oraz wytłumaczenie

Answer 1

Równanie x⁵-5x³+4x=0 :

a)nie ma pierwiastków rzeczywistych

b)ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty

c)ma pięć pierwiastków będących liczbami rzeczywistymi

d)ma dokladnie 3 pierwiastki rzeczywiste

 

x⁵-5x³+4x=0

x(x⁴-5x²+4) = 0

x = 0 lub x⁴-5x² +4 = 0

 

x⁴-5x² +4 = 0

wprowadzam dodatkową niewiadomą

x² = t

t² - 5t +4 = 0

∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

√∆ = √9 = 3

t1= (-b - √∆):2a = (5 -3):2*1 = 2 :2 = 1

t2 =(-b + √∆):2a = (5 +3) : 2*1 = 8 :2 = 4

Powracam do poprzedniego oznaczenia

x² = t₁                  lub    x² = t₂

x² = 1                     lub    x² = 4

x² -1 = 0                 lub    x² -4 = 0

(x -1)*(x +1) =0       lub   (x - 2)*(x +2) = 0

x -1 =0, lub x +1 =0,lub   x -2 = 0, lub x +2 = 0

x = 1,    lub x = -1,  lub   x = 2,     lub  x = -2

 

Wczeęniej obliczony pierwiastek x = 0

 

Odp. Rozwiązaniem równania jest 5 pierwiastków, będących liczbami rzeczywistymi : x = -2 , x = -1, x =0, x = 1, x = 2  (odp.c)