Punkty A=(3.0), B=(9,6), i D=(3,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB i CD, który ma oś symetrii.
a) oblicz współrzędne wierzchołka C
b) oblicz pole tego trapezu
c) napisz równanie osi symetrii tego trapezu
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
a) (9 - 3)(y - 0) = (6 - 0)(x - 3)
6y = 6*(x - 3)
6y = 6x - 18 /:6
y = x - 3
a = 1 to y = x + b
3 = 3 + b
b = 3 - 3 = 0
|AD| = √(3 - 3)² + (3 - 0)² √0² + 3² = √9 = 3
|AD| = |BC| = 3
3 = √(xC - 9)² + (xC - 6)² /²
3² = (xC - 9)² + (xC - 6)²
x²C - 18xC + 81 + x²C - 12xC + 36 - 9 = 0
2x²C - 30xC + 108 = 0 /:2
x²C - 15xC + 54 = 0
Δ = 225 - 216 = 9
√Δ = √9 = 3
xC₁ = 15 - 3 / 2 = 12 / 2 = 6
xC₂ = 15 + 3 / 2 = 18 / 2 = 9
C = (6, 6)
b) |AB| = √(xB - xA)² + (yB - yA)²
|AB| = √(9 - 3)² + (6 - 0)² = √6² + 6² = √36 + 36 = √2*36 = 6√2
|CD| = √(xD - xC)² + (yD - yC)²
|CD| = √(3 - 6)² + (3 - 6)² = √(-3)² + (-3)² = √9 + 9 = √2*9 = 3 √2
h = |- 3 - 0| / √1 + 1² = |- 3| / √2 = 3 / √2 = 3*√2 / √2*√2 = 3√2 / 2
P = ½*(6√2 + 3√2) * 3√2 / 2 = ¼ * 9√2 * 3√2 = ⁵⁴/₄ = 13½
c) xs₁ = 3 + 9 / 2 = 12 / 2 = 6
ys₁ = yA + yB / 2
ys₁ = 0 + 6 / 2 = 6 / 2 = 3
S₁ = (6, 3)
xs₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½
ys₂ = yC + yD / 2
ys₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½
S₂ = (4½, 4½)
(4½ - 6)(y - 3) = (4½ - 3)(x - 6)
- 1½(y - 3) = 1½(x - 6)
- 1½y + 4½ = 1½x - 9
- 1½y = 1½x - 9 - 4½
- 1½y = 1½x - 13½ /:(-1½)
y = - x + 9.
Jest to trochę pogmatwane ale tak robiliśmy na zajęciach, więc powinno być ok.
W trapezie oznaczam: AB - podstawa dolna, CD - podstawa górna,
M - środek podstawy AB, N - środek podstawy CD,
k - oś symetrii trapezu (prosta MN).
A(3,0), B(9,6), D(3,3).
- Wyznaczam punkt M (xM, yM), jako środek boku AB:
xM = (xA+xB)/2 = (3+9)/2 = 12/2 = 6
yM = (yA+yB)/2 = (0+6)/2 = 6/2 = 3 Czyli M(6,3).
- Wyznaczam równanie osi symetrii k:
k L AB (czyt. k prostopadła do AB)
Współczynnik kierunkowy prostej AB, czyli a AB = (yB - yA)/(xB-xA) =(6-0)/(9-3)=
= 6/6 = 1
Współczynnik prostej k: ak = -1/aAB = -1 (z warunku prostopadłości prostych).
Równanie prostej k przechodzącej przez punkt M o danym współczynniku kierunkowym ak ma pstać:
y - yM = ak (x - xM)
y - 3 = -1(x-6) ⇒ y = -x+6+3 ⇒ y = -x +9 (równanie osi symetrii k)
- Wyznaczam równanie prostej CD II AB i przechodzącej przez punkt D(3,3).
aCD = aAB = 1 (z warunku równoległości)
y - yD = aCD(x-xD)
y-3 = 1(x-3 ⇒ y = x-3+3 ⇒ y=x
- Wyznaczam punkt N z przecięcia się prostych k i CD: (układ równań)
[ y=x
[ y = -x+9
x = -x+9 ⇒ 2x = 9 ⇒ x=4½, y= 4½, N(4½,4½)
- Wyznaczam punkt C (N jest środkiem odcinka CD):
xN= (xD+xC)/2 yN=(yD+yC)/2
4½= (3+xC)/2 /·2 4½ = (3+yC)/2 /·2
3+xC = 9 3+yC = 9
xC = 6 yC= 6 C(6,6)
- Aby obliczyć pole trapezu, należy obliczyć długości obu podstaw oraz dłgość
odcinka MN, który jest wysokością trapezu.
P= ½(a+b)·h
a = IABI = √[(9-3)²+(6-0)²] = √(36+36) = √72 = √(36·2) = 6√2
b = ICDI = √[(3-6)²+(3-6)²] = √(9+9) = √18 = √(9·2) = 3√2
h = IMNI = √[(6-4½)²+(3-4½)²] = √[(3/2)²+(-3/2)²] = √(9/4+9/4) =√(18/4)=3√2/2
P = ½·(6√2+3√2)· 3√2/2 = ½·9√2·3√2/2 = 27·2/4 = 27/2 = 13½ [j²]