Question

Punkty A=(3.0), B=(9,6), i D=(3,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB i CD, który ma oś symetrii.
a) oblicz współrzędne wierzchołka C

b) oblicz pole tego trapezu

c) napisz równanie osi symetrii tego trapezu

Answer 1

a) (9 - 3)(y - 0) = (6 - 0)(x - 3)
6y = 6*(x - 3)
6y = 6x - 18 /:6
y = x - 3

a = 1 to  y = x + b

3 = 3 + b
b = 3 - 3 = 0

|AD| = √(3 - 3)² + (3 - 0)² √0² + 3² = √9 = 3
|AD| = |BC| = 3

3 = √(xC - 9)² + (xC - 6)² /²
3² = (xC - 9)² + (xC - 6)² 
x²C - 18xC + 81 + x²C - 12xC + 36 - 9 = 0
2x²C - 30xC + 108 = 0 /:2
x²C - 15xC + 54 = 0
Δ = 225 - 216 = 9
√Δ = √9 = 3
xC₁ = 15 - 3 / 2 = 12 / 2 = 6
xC₂ = 15 + 3 / 2 = 18 / 2 = 9

C = (6, 6) 

b) |AB| = √(xB - xA)² + (yB - yA)²
|AB| = √(9 - 3)² + (6 - 0)² = √6² + 6² = √36 + 36 = √2*36 = 6√2

|CD| = √(xD - xC)² + (yD - yC)²
|CD| = √(3 - 6)² + (3 - 6)² = √(-3)² + (-3)² = √9 + 9 = √2*9 = 3 √2

h = |- 3 - 0| / √1 + 1² = |- 3| / √2 = 3 / √2 = 3*√2 / √2*√2 = 3√2 / 2

P = ½*(6√2 + 3√2) * 3√2 / 2 = ¼ * 9√2 * 3√2 = ⁵⁴/₄ = 13½

c) xs₁ = 3 + 9 / 2 = 12 / 2 = 6
ys₁ = yA + yB / 2
ys₁ = 0 + 6 / 2 = 6 / 2 = 3
S₁ = (6, 3)

xs₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½

ys₂ = yC + yD / 2
ys₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½
S₂ = (4½, 4½)

(4½ - 6)(y - 3) = (4½ - 3)(x - 6)
- 1½(y - 3) = 1½(x - 6)
- 1½y + 4½ = 1½x - 9
- 1½y = 1½x - 9 - 4½
- 1½y = 1½x - 13½ /:(-1½)
y = - x + 9.

Jest to trochę pogmatwane ale tak robiliśmy na zajęciach, więc powinno być ok. 

Answer 2

W trapezie oznaczam:  AB - podstawa dolna,  CD - podstawa górna,

                                  M - środek podstawy AB,  N - środek podstawy CD,

                                  k - oś symetrii trapezu  (prosta MN).

A(3,0), B(9,6), D(3,3).

-  Wyznaczam punkt M (xM, yM), jako środek boku AB:

    xM = (xA+xB)/2 = (3+9)/2 = 12/2 = 6

    yM = (yA+yB)/2 = (0+6)/2 = 6/2 = 3       Czyli   M(6,3).

-  Wyznaczam równanie osi symetrii k:

    k L AB    (czyt. k prostopadła do AB)

   Współczynnik kierunkowy prostej AB, czyli a AB = (yB - yA)/(xB-xA) =(6-0)/(9-3)=

                                                                          = 6/6 = 1

   Współczynnik prostej k:   ak = -1/aAB = -1    (z warunku prostopadłości prostych).

   Równanie prostej k przechodzącej przez punkt M o danym współczynniku kierunkowym ak  ma pstać:

            y - yM = ak (x - xM)

            y - 3 = -1(x-6)       ⇒  y = -x+6+3   ⇒   y = -x +9   (równanie osi symetrii k)

-  Wyznaczam równanie prostej CD II AB i przechodzącej przez punkt D(3,3).

        aCD = aAB = 1    (z warunku równoległości)

      y - yD = aCD(x-xD)

      y-3 = 1(x-3      ⇒  y = x-3+3    ⇒   y=x

-  Wyznaczam punkt N z przecięcia się prostych k i CD:  (układ równań)

          [ y=x

          [ y = -x+9

                 x = -x+9    ⇒  2x = 9   ⇒  x=4½,   y= 4½,     N(4½,4½)

-  Wyznaczam punkt C  (N jest środkiem odcinka CD):

      xN= (xD+xC)/2                 yN=(yD+yC)/2

       4½= (3+xC)/2   /·2           4½ = (3+yC)/2    /·2

       3+xC = 9                              3+yC = 9

          xC = 6                                  yC= 6                  C(6,6)

- Aby obliczyć pole trapezu, należy obliczyć długości obu podstaw oraz dłgość

  odcinka MN, który jest wysokością trapezu.

      P= ½(a+b)·h

   a = IABI = √[(9-3)²+(6-0)²] = √(36+36) = √72 = √(36·2) = 6√2

   b = ICDI = √[(3-6)²+(3-6)²] = √(9+9) = √18 = √(9·2) = 3√2

   h = IMNI = √[(6-4½)²+(3-4½)²] = √[(3/2)²+(-3/2)²] = √(9/4+9/4) =√(18/4)=3√2/2

    P = ½·(6√2+3√2)· 3√2/2 = ½·9√2·3√2/2 = 27·2/4 = 27/2 = 13½ [j²]