Question

Które z podanych ciągów są ciągami arytmetyczynymi? ( proszę aby było to wykazane przez an +1 - an)

a) an = √2n ;
b) an = n/ n² +6

Answer 1

ciąg jest arytmetyczny jeżeli a(n+1)-an jest stałe (niezależne od n) :

a) an=√2n         a(n+1)=√2(n+1)=√2n+√2

a(n+1)-an = √2n+√2 - √2n = √2

czyli jest to ciąg arytmetyczny

 

b)an=n/(n²+6)

  a(n+1)=(n+1)/((n+1)²+6)=(n+1)/(n²+2n+1+6)=

=(n+1)/(n²+2n+7)

 

a(n+1)-an =(n+1)/(n²+2n+7) - n/(n²+6)=

=[(n+1)*(n²+6)-n(n²+2n+7)]/[(n²+2n+7)(n²+6)]=

=(n³+6n+n²+6-n³-2n²-7n)/[(n²+2n+6)(n²+6)]=

=(-n²-n+6)/[(n²+2n+6)(n²+6)]

 

ciąg nie jest arytmetyczny  (a(n+1)-an nie jest stałe)