Question

Punkty A=(-4;-4), B=(8;2) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD, którego środkiem symetrii jest punkt S=(1;1). Wyznacz współrzędne C i D i wykaż, że czworokąt jest prostokątem.

Answer 1

A = ( -4; -4) , B = (8; 2)

S = (1; 1)

S jest środkiem odcinka  AC   i  odcinka  BD

Niech

C = (x1; y1)   oraz  D = (x2; y2 )

zatem mamy

( - 4 + x1)/2 = 1    i    ( - 4 + y1)/2 = 1

- 4 +x1 = 2            i      - 4 + y1 = 2

x1 = 6                   i             y1  = 6

C = ( 6 ; 6)

=============

oraz

( 8 + x2)/2 = 1      i     ( 2 + y2 ) /2 = 1

8 + x2 = 2             i       2 + y2 = 2

x2 = - 6                i             y2 = 0

D = ( - 6 ; 0)

===============

pr AB

 y = a x + b

- 4 = - 4a + b

2 = 8a + b

-----------------  odejmujemy stronami

2 - (-4) = 8a - ( -4a)

6 = 12 a

a = 1/2

-------------

b = 2 - 8a = 2 -8*(1/2) = 2 - 4 = - 2

--------------------------------------------

pr AB:    u = (1/2) x   - 2

=========================

Prosta   BC

 y = a x + b

2 = 8a + b

6 = 6a + b

-----------------

odejmujemy stronami

6 - 2 = 6a - 8a

4 = -2a

a = - 2

-------------

b = 6 - 6a = 6 - 6*(-2) = 6 + 12 = 18

---------------------------------------------

pr Bc :  y = -2 x + 18

=====================

Mamy

(1/2)*(-2) = - 1  

zatem te proste są prostopadłe.

-->
AB = [ 8 - (-4) ; 2 - (-4)] = [ 12; 6 ]

-->

DC = [ 6 - (-6); 6 - 0] = [ 12 ; 6]

Te wektory są równe , zatem czworokąt ABCD jest równoległobokiem.Równoległobok

mająćy kąty proste to prostokąt.