Question

Dany jest trójkąt prostokątny, którego boki tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz q tego ciągu.

Answer 1

kolejnymi bokami trójkąta prostokątnego sa

a ; a*q - przyprostokątne

oraz a*q*q - przeciwprostokątna (największa)

Z twierdzenie Pitagorasa

(a*a) + (a*q)*(a*q) = (a*q*q)*(a*q*q)

dzielimy obustronnie przez (a*a)

1 + q*q = q*q*q*q

wstawiamy nową zmienną

x = q*q

x*x -x -1 = 0

delta = 1 +4 = 5

x1 = [1 + pierwiastek(5)]/2

x2 = [1 - pierwiastek(5)]/2

Ponieważ x = q*q >=0 więc

x = x1 = [1 + pierwiastek(5)]/2

q*q = [1 + pierwiastek(5)]/2

q = pierwiastek{[1 + pierwiastek(5)]/2}

 

Answer 2

a,b-przyprostokątne

c-przeciwprostokątna

 

b=aq

c=aq²

a²+b²=c²

a²+a²q²-a²q⁴=0  /a²≠0

1+q²-q⁴=0

-q⁴+q²+1=0

ozn:t=q²  ,t>0

-t²+t+1=0

Δ=1+4=5

t=(-1-√5)/2<0  v  t=(-1+√5)/2

 

q²=(-1+√5)/2  ,q>0