Question

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD|. Udowodnij, że |∢ADC|=5×|∢ACD|.

Proszę o dokładne rozwiązanie.

Answer 1

Mamy dwa trójkąty równoramienne: ΔADC i ΔABD
I) Oznaczmy miarę kąta ACD: I∢ACDI= α
Wtedy I∢ CADI =I∢ ACDI= α {kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym ΔADC są równe}
Oznaczmy miarę kąta ADC: I∢ADCI= x
Wtedy w trójkącie równoramiennym ΔADC suma kątów:
I∢ CADI + I∢ ACDI+ I∢ ADCI = 180⁰ mamy:
2α + x = 180⁰

II) Oznaczmy miarę kąta BAD: I∢ BADI = β
Wtedy I∢BDAI= I∢BADI = β {kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym ΔABD są równe}
I∢ABDI= α+ β { kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym ΔABC są równe I∢CABI = I∢ABCI = α+ β}
Wtedy w trójkącie równoramiennym ΔABD suma kątów:
I∢BDAI +I∢BADI+ I∢ABDI = 180⁰
2β+ α+ β= 3β+ α= 180⁰

III) z sumy kątów przyległych mamy:
I∢BDAI+ I∢ADCI= β+ x=180⁰, x= 180⁰-β i z I) x=180⁰- 2α
mamy 180⁰- β= 180⁰ – 2α, stąd β= 2α

Wtedy z II) i III) mamy
β= 2α i 3β+ α= 180⁰, 3*2α+ α= 180⁰, 7α= 180⁰
z zależności I) 2α+ x= 180⁰ i zależności 7α= 180⁰ mamy
2α+ x= 7α
x = 7α- 2α = 5α
czyli I∢ADCI = 5α = 5* I∢ACDI
{co należało udowodnić}