Question

Prosze o rozwiązanie równiania, gdyż mimo że wydaje się proste, odpowiedzi do niego trochę mnie zmyliły. (koniecznie podać dziedzinę)

Answer 1

Po pierwsze do dziedziny nie należą te wartości x, dla których mianownik się zeruje, bo wtedy ułamek nie ma sensu. Mamy zatem dwa przypadki...

 

Przypadek 1. Załóżmy, że

 

W takim wypadku ułamek przyjmuje formę:

 

 

(przekształciliśmy |x| na -x zgodnie z definicją wartości bezwzględnej)

 

Widzimy, że mianownik się skraca i otrzymujemy wyrażenie:

 

 

To wyrażenie jest bez sensu, gdyż w mianowniku dostaliśmy 0. Co ciekawe nie ma tam żadnej zmiennej x, co oznacza że dostajemy coś takiego dla KAŻDEGO x które zawiera się w rozważanym przypadku (czyli dla każdego x <= 0). Zero w mianowniku jest niedozwolone, więc dziedzina równania musi mieć wyrzucone wszystkie liczby które należą do rozpatrywanego przypadku. Są to oczywiście wszystkie liczby ujemne włącznie z zerem. Zatem dziedziną równania jest:

 

(czyli wszystko poza wartościami mniejszymi lub równymi 0)

 

Przypadek 2. Załóżmy, że

 

Rozważając przypadek pierwszy już określiliśmy dziedzinę. Teraz pozostaje rozważyć przypadek drugi pozwalający znaleźć rozwiązania. Jeśli założymy, że wartość x jest dodatnia, wtedy wartość bezwzględnia nic nie zmienia i można ją zwyczajnie opuścić otrzymując postać:

 

 

Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie by zapisać to tak:

 

 

Teraz możemy bezkarnie pomnożyć obie strony przez 2x otrzymując:

 

 

Rozwiązaniem tej równości jest oczywiście:

 

 

Zatem pełna odpowiedź brzmi następująco:

 

 

 

Łatwo sprawdzić szczególnie rozwiązanie równania. Wystarczy wstawić je do równania i przekonać się, że faktycznie jest spełnione, czyli lewa strona równa się prawej. W przypadku dziedziny niestety upewnienie się o poprawności jest trudniejsze i wymaga raczej odrobiny zastanowienia się. Możesz też dla testu podstawić sobie pod x wartości np 0, -1, -2 i zobaczyć, że dla każdej z nich mianownik się zeruje, czyli wszystkie liczby poniżej zera (z zerem włącznie) muszą być z dziedziny wyrzucone.