Question

PROSZĘ WAS BARDZO O POMOC!! :)
Udowodnij, że suma długości promieni koła wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa średniej arytmetycznej długości przyprostokątnych.

Answer 1

a;b --- przyprostokątne

c --- przeciwprostokątna

 

Punkty styczności okręgu wpisanego z trójkątem wyznaczają na trójkącie odcinki, odpowiednie z nich są równej długości.

x --- odcinek na przyprostokątnej a

y --- odcinek na przyprostokątnej b

x+y --- długość przeciwprostokątnej

 

Wtedy:

r=a-x

r=b-y

----------+

2r=a+b-x-y

r=0,5a+0,5b-0,5x-0,5y

 

Promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej, więc:

R=0,5(x+y)=0,5x+0,5y

 

r+R=0,5x+0,5y+0,5a+0,5b-0,5x-0,5y=0,5a+0,5b=(a+b)/2