Question

Proszę o rozwiązanie zadań w załącznikach. Spam będzie usuwany.
Dużo punktów, pilne potrzebuję na jutro.

Answer 1

Zad 4.90
Mamy funkcję:
f(x)=(ax-1)/(x-3)

Dziedzinę patrzymy na mianowniku, gdyż jedyny argument, który z pewnością nie należy do wykresu to x=3 (bo mianownik będzie zero), więc: Df=R\{3}

szukamy takiego "a" by do wykresu należał punkt A(-2,1), a że punkt A ma współrzędne A(x,y) to wstawiamy je do wzoru na wykres:
f(x)=(ax-1)/(x-3)
1=(a*(-2)-1)/(-2-3)
1=(-2a-1)/-5
1=(2a+1)/5 |*5
5=2a+1
2a=4 |:2
a=2

tak więc punkt A(-2,1) należy do wykresu dla a=2

mamy więc narysować wykres:
f(x)=(2x-1)/(x-3)

przed narysowaniem sprawdzę rachunkowo czy ma punkty wspólne z wykresem g(x)=(x+3)/(2x+1)

by wykresy się przecięły to ich układ równań musi mieć rozwiązanie:
f(x)=(2x-1)/(x-3)
g(x)=(x+3)/(2x+1)

(x+3)/(2x+1) = (2x-1)/(x-3)
x²-9 = 4x²-1
3x²=-8

x² przyjmuje wartości dodatnie, więc 3x² też... nie może się równać -8... układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań (wykresy się nie przecinają). Sporządziłem sobie wykresy i na prawdę tak jest.

teraz mamy aby narysować f(x)=(2x-1)/(x-3):
odejmijmy od licznika "5" i tyle samo dodajmy (nic się nie zmieni):
f(x)=(2x-1)/(x-3)
f(x)=(2x-1-5+5)/(x-3)
f(x)=(2x-6+5)/(x-3)

wyciągam 2 przed nawias:
f(x)=(2(x-3)+5)/(x-3)

rozdzielam na dwa ułamki:
f(x)=(2(x-3)+5)/(x-3)
f(x)=2(x-3)/(x-3) + 5/(x-3)
f(x)=2 + 5/(x-3)
f(x)=5/(x-3) + 2

a więc najłatwiej będzie narysować wykres 5/x - z tabelki, a następnie przesunąć go o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki do góry:

http://i40.tinypic.com/30asyeb.jpg
http://i43.tinypic.com/slmw74.jpg

------------------------

Zad 4.92
f(x)=(ax+b)/(x+c)

wiemy (jak wyżej było), że będzie to wykres hiperboli, a więc to iż jest ona monotoniczna w zakresie od (-∞,3)u(3,∞) mówi wyraźnie o tym, że owa hiperbola jest przesunięta o 3 jednostki w prawo gdyż asymptotę pionową ma w "3" - to nam jednoznacznie określa, że c=-3.

mamy po przekształceniu wykres:
f(x)=h/(x-3) + q

teraz wiemy, że również y=-2 nie należy do wykresu funkcji więc asymptota pozioma jest w -2, a to jednoznacznie określa, że q=-2

f(x)=h/(x-3) - 2
pozostał nam współczynnik h (zależny od poprzednich "a" i "b", ale to mało ważne):
wiedząc, że miejscem zerowym jest punkt (-2,5 , 0) - wstawiamy to do wykresu:
0=h/(-2,5-3) - 2
0=h/(-5,5) - 2
2=h/(-5,5) |*-5,5
h=-11

a więc wykres funkcji to f(x)=-11/(x-3) - 2

skorzystałem z faktu, że jeżeli f(x)=(ax+b)/(x+c) jest do narysowania (posiada prawidłową dziedzinę) to da się ułamek z prawej przedstawić jako f(x)=a/(x-p) + q

teraz sobie ten wykres narysujmy (znów możemy 11/x i przesunąć o 3 w prawo i 2 do dołu - ale ja już zrobię to programem od razu) i podamy zakres wartości nieujemnych:
http://i39.tinypic.com/6ygk74.jpg

widzimy wyraźnie, że wartości nieujemne przyjmuje dla x∈<-2,5 ; 3)

rozwiązujemy teraz nierówność:
f(x) > (x+1)/(x-3)
-11/(x-3) - 2 > (x+1)/(x-3)
-11/(x-3) - 2(x-3)/(x-3) > (x+1)/(x-3)
[-11- 2(x-3)]/(x-3) > (x+1)/(x-3)
(-2x-5)/(x-3) > (x+1)/(x-3)

przerzucę wszystko na lewą stronę:
(-2x-5)/(x-3) - (x+1)/(x-3) > 0
(-3x-6)/(x-3) > 0

skorzystam z tego, że jeżeli iloraz liczb jest większy od zera to iloczyn też i to dla tych samych liczb:
(-3x-6)*(x-3) > 0
-3(x+2)*(x-3) > 0 |:(-3)
(x+2)*(x-3) < 0

jest to funkcja kwadratowa z ramionami do góry więc poniżej 0 jest zakres od -2 do 3... x∈(-2,3).

--------------
4.94
f(x)=(2x+b)/(ax+1), g(x)=(ax+c)/(ax+1)

skoro mają punkt wspólny to wstawmy go i przyrównajmy równania:
1⁷/₁₂=(2*11+b)/(a*11+1), 1⁷/₁₂=(a*11+c)/(a*11+1)

z powodu, że 1⁷/₁₂=1⁷/₁₂, mamy:
(22+b)/(11a+1)=(11a+c)/(11a+1) |*(11a+1)
22+b=11a+c
b=11a+c-22

mamy zależność b od "a" i "c" - musimy się jednej z tych zmiennych pozbyć - o tak:
1⁷/₁₂=(a*11+c)/(a*11+1)
¹⁹/₁₂=(11a+c)/(11a+1) *12
19=12(11a+c)/(11a+1) |*11a+1
19(11a+1)=12(11a+c)
209a+19=132a+12c
77a+19=12c |:12
c=(77a+19)/12

tak o to już nie mam "c" tylko (77a+19)/12 - co wstawiam do równania:
b=11a+c-22
b=11a+(77a+19)/12-22 |*12
12b=132a+77a+19-264
12b=209a-245
b=(209a-245)/12


miejscem zerowym "g" jest liczba -8:
g(x)=(ax+c)/(ax+1)
0=(-8a+c)/(-8a)+1

by ułamek był równy 0 to wystarczy żeby licznik był równy 0:
-8a+c=0

skoro
c=(77a+19)/12

to mamy:
-8a+(77a+19)/12 =0 |*12
-96a+77a+19=0
-19a=-19 |:(-19)
a=1

tak o to wyliczyliśmy "a" - liczymy teraz c:
-8a+c=0
-8+c=0
c=8

oraz "b":
b=11a+c-22
b=11*1+8-22
b=19-22
b=-3

mamy: a=1, b=-3, c=8


liczymy:
(2x+b)/(ax+1) = (ax+c)/(ax+1)

(2x-3)/(x+1) = (x+8)/(x+1) |*(x+1)
2x-3=x+8
x=11


mamy narysować wykres funkcji f(|x|):
f(|x|)=(2|x|-3)/(|x|+1)

zmieńmy trochę zapis:
f(|x|)=(2|x|-3)/(|x|+1)
f(|x|)=(2|x|-3+5-5)/(|x|+1)
f(|x|)=(2|x|+2-5)/(|x|+1)
f(|x|)=(2(|x|+1)-5)/(|x|+1)
f(|x|)=2 - 5/(|x|+1)
f(|x|)= - 5/(|x|+1) + 2

najłatwiej więc będzie narysować wykres -5/(|x|+1) a następnie przesunąć go o 1 w lewo i dwa do góry (z tabelką wyznaczamy punkty -5/(|x|+1) - ja zrobię już bez):
http://i42.tinypic.com/oszswk.jpg

i teraz:
http://i44.tinypic.com/6qh1cm.jpg

rysujemy asymptotę -2:
http://i40.tinypic.com/voq6g5.jpg

jak widać przecina nasz czerwony wykres 2 razy więc są 2 rozwiązania

-----------
4.95
a) xy-x-3y+1=0
xy-3y=-1+x
y(x-3)=x-1 |:(x-3)
y=(x-1)/(x-3)

dodajmy i odejmijmy od licznika 2:
y=(x-1-2+2)/(x-3)
y=(x-3+2)/(x-3)
y=1 + 2/(x-3)
y=2/(x-3) + 1

wystarczy narysować 2/x (z tabelki) i przesunąć o 3 w prawo i 1 do góry:

http://i40.tinypic.com/125rvd4.jpg

b) 1/(y-1) + 1/(x+1) = 1 |*(y-1)
1 + (y-1)/(x+1) = y-1
(y-1)/(x+1) = y-2
(y-1)/(x+1) = (y-2)/1

mnożąc na krzyż mamy:
y-1=(x+1)(y-2)
y-1=xy-2x+y-2
"y" się skraca
xy-2x-1=0
xy=2x+1

zakładam, że x≠0 bo wtedy
0=2*0+1
0=1

więc śmiało mogę podzielić przez x:
xy=2x+1 |:x
y=2+1/x
y=1/x + 2

narysować 1/x i przesunąć o 2 do góry:
http://i42.tinypic.com/166nq5l.jpg


--------------
4.96
a i c rysujemy normalnie, a na końcu odbijamy nad osią - dam bez punktów bo z zaznaczaniem punktów mi się zbyt długo z chodzi:

a)
http://i39.tinypic.com/r2461i.jpg
http://i41.tinypic.com/1zodv6s.jpg

i teraz własności czerwonego wykresu:
funkcja nie jest monotoniczna,
funkcja jest malejąca na przedziałach (-∞,2)u(4,∞)
funkcja jest rosnąca w przedziale <2,4)
funkcja posiada miejsce zerowe w x=2
funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych


c)
http://i44.tinypic.com/fyjzag.jpg
http://i40.tinypic.com/2a98ndh.jpg

funkcja nie jest monotoniczna
funkcja jest malejąca na przedziale (2,3>
funkcja jest rosnąca na przedziałach (-∞,2)u(3,∞)
funkcja nie posiada miejsc zerowych
funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych


e)
y=|(-2x-4)/(x+1)|
y=|(-1)*(2x+4)/(x+1)|
y=|-1|*|(2x+4)/(x+1)|
y=|(2x+4)/(x+1)|

dodam do licznika 2 i odejmę:
y=|(2x+4-2+2)/(x+1)|
y=|(2x+2-2)/(x+1)|
y=|(2(x+1)-2)/(x+1)|
y=|2 - 2/(x+1)|
y=|- 2/(x+1) + 2|
y=|(-1)* 2/(x+1) + 2|
y=|-1|*|2/(x+1) + 2|
y=|2/(x+1) + 2|

teraz oczywiście rysujemy 2/x - przesulwamy o 1 w lewo i 2 do góry i odbijamy wszystko co jest pod osią - ja tak jak do tej pory narysuję 2/(x+1)+2 od razu i odbiję:
http://i39.tinypic.com/15z0c37.jpg
http://i42.tinypic.com/2cerevd.jpg

funkcja nie jest monotoniczna
funkcja jest malejąca na przedziale (-∞,-2)u(-1,∞)
funkcja jest rosnąca na przedziałach <-2,-1)
funkcja posiada miejsce zerowe dla x=-1
funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych