Proszę o rozwiązanie 3 zadań z załącznika.... Question from @Magdaa93

Magdaa93 @Magdaa93

October 2018 1 33 Report

Proszę o rozwiązanie 3 zadań z załącznika.

Roma

Zad. 26

$log_{125} \ x = - 0,(6)$

-----------------------------------

Zamienimy ułamek dziesiętny okresowy 0,(6) na ułamek zwykły:

$x = 0,(6) \\\ 10x = 6,(6) \\\ 10x - x = 6,(6) - 0,(6) \\\ 9x = 6 \ /:9 \\\ x =\frac{6}{9} \\\ x = \frac{2}{3} \\\ 0,(6) = \frac{2}{3}$

-----------------------------------

Stąd:

$log_{125} \ x = - \frac{2}{3}$

-----------------------------------

Skorzystamy z def. logarytmu: $log_a \ b = c \ <=> \ a^c = b$

-----------------------------------

Zatem:

$log_{125} \ x = - \frac{2}{3} \\\\ x = 125^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(5^3)^{\frac{2}{3}}} =\frac{1}{5^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{1}{5^2} =\frac{1}{25}$

Odp. $x = \frac{1}{25}$

Zad. 27

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy W(a) = 0

Liczby -1 i 2 są pierwiastkami wielomanu W(x) = ax² + bx - 2, zatem:

$W(-1) = a \cdot (-1)^2+ b \cdot (-1) - 2 = a - b - 2 \\\ a - b - 2 = 0 \\\ a - b = 2 \\\\ W(2) = a \cdot 2^2+ b \cdot 2 - 2 = 4a + 2b - 2 \\\ 4a + 2b - 2 = 0 \\\ 4a + 2b = 2$

Stąd:

$\left \{ {{a-b=2 \ / \cdot 2} \atop {4a+2b = 2}} \right. \\\\ \underline{\left \{ {{2a-2b=4} \atop {4a+2b = 2}} \right.} \\\ 6a = 6 \ /:6 \\\ a = 1 \\\\ a-b=2 \\\ 1 - b = 2 \\\ -b = 2 - 1 \\\ - b = 1 \ / \cdot (-1) \\\ b = -1 \\\\ \left \{ {{a = 1} \atop b = -1}} \right.$

Zatem:

$W(x) = x^2 - x - 2 \\\\ W(x) \leq 0 \\\\ x^2 - x - 2 \leq 0 \\\ a = 1; \ b = - 1; \ c = - 2 \\\ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 \\\\ x_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \\\\ x_2 = \frac{1+ 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

-----------------------------------

Jeśli dla nierówności ax² + bx + c ≤ 0, a > 0 i Δ > 0 to zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór <x₁; x₂>, gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz x₁ < x₂

-----------------------------------

Zatem zbiorem rozwiązania nierówności x² - x - 2 ≤ 0 jest zbiór:

$x \in \langle-1; \ 2 \rangle$

Odp. $x \in \langle-1; \ 2 \rangle$

Zad. 28

Skorzystamy z wiadomości dot. okręgów:

Równanie okręgu ma postać: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , gdzie r - promień okręgu , (a, b) - współrzędne środka okręgu.

Okręgi o(O₁, r₁) i o(O₂, r₂) są styczne zewnętrznie wtedy, gdy |O₁O₂| = r₁ + r₂, czyli odległość środków okręgów jest równa sumie ich promieni.

Długość odcinka AB o końcach w punktach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) dana jest wzorem:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

-----------------------------------

$(x + 1)^2 + (y - a)^2 = 9 \\\ Zatem: \\\ S_1 = (-1; \ a) \ i \ r_1 = \sqrt{9} = 3 \\\\ (x - a)^2 + (y + 2)^2 = 4 \\\ Zatem: \\\ S_2 = (a; \ -2) \ i \ r_2 = \sqrt{4} = 2$

$|S_1S_2| = \sqrt{(a+1)^2 + (-2-a)^2} = \sqrt{a^2 + 2a + 1 + 4 + 4a + a^2}=\\\ = \sqrt{2a^2 + 6a + 5} \\\\ r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 \\\\ |S_1S_2| = r_1 + r_2$

Zatem:

$\sqrt{2a^2 + 6a + 5} = 5 \ /^2 \\\ 2a^2 + 6a + 5 = 25 \\\ 2a^2 + 6a + 5 - 25 = 0 \\\ 2a^2 + 6a - 20 = 0 \ /:2 \\\ a^2 + 3a - 10 = 0 \\\ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7 \\\\ a_1 = \frac{-3-7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = - 5 \\\\ a_2 = \frac{-3+7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$