Proszę o pomoc w rozwiązaniu działań.... Question from @Rachiw

January 2019 1 16 Report

Proszę o pomoc w rozwiązaniu działań.

Milena233 Zadanie 1.
a)
$\mathrm{ x-1=\frac{x}{x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ \ x \neq -1} \\ \mathrm{(x-1)(x+1)=x} \\ \mathrm{x^2-1=x} \\ \mathrm{x^2-x-1=0} \\ \mathrm{\Delta=1+4=5} \\ \mathrm{x_1= \frac{1- \sqrt{5} }{2} } \\ \mathrm{x_2= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} } \\ \mathrm{x \in \{ \frac{1-\sqrt{5} }{2} , \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \} }$

b)
$\mathrm{ \frac{2}{x^2+x}- \frac{1}{x^2} = \frac{1}{6x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ x \neq 0 \ \ \wedge \ \ x \neq -1 } \\ \mathrm{ \frac{2}{x(x+1)}-\frac{1}{x^2} = \frac{1}{6x} } } \\ \mathrm{ \frac{2x}{x^2(x+1)}- \frac{x+1}{x^2(x+1)} = \frac{1}{6x} } \\ \mathrm{ \frac{2x-x-1}{x^2(x+1)}= \frac{1}{6x} } \\ \mathrm{ \frac{x-1}{x^2(x+1)}= \frac{1}{6x} } \\ \mathrm{x^2(x+1)=6x(x-1)} \\ \mathrm{x^3+x^2=6x^2-6x} \\ \mathrm{x^3+x^2-6x^2+6x=0} \\ \mathrm{x^3-5x^2+6x=0}$
$\mathrm{x(x^2-5x+6)=0} \\ \mathrm{x=0 \ \ \vee \ \ x^2-5x+6=0} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta=25-24=1} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1= \frac{5-1}{2}=2 } \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1= \frac{5+1}{2}=3 } \\ \mathrm{x \in \{ 0,2,3 \} }$

Zadanie 2.
a)
$\mathrm{x+ \frac{1}{x} \geq 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ \ x \neq 0} \\ \mathrm{ \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} \geq 2 } \\ \mathrm{ \frac{x^2+1}{x} \geq 2 \ \ \ \ \ / \cdot x^2 } \\ \mathrm{x(x^2+1) \geq 2x^2} \\ \mathrm{x^3+x-2x^2 \geq 0} \\ \mathrm{x^3-2x^2+x \geq 0} \\ \mathrm{x(x^2-2x+1) \geq 0} \\ \mathrm{x=0 \ \ \vee \ \ x^2-2x+1=0} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta=4-4=0} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0= \frac{2}{2}=1 }$
$\mathrm{x \in (0, +\infty)}$

b)
$\mathrm{| \frac{x-1}{2x}- \frac{1}{x} |\ \textgreater \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ \ x \neq 0} \\ \mathrm{| \frac{x-1}{2x} - \frac{2}{2x} |\ \textgreater \ 1} \\ \mathrm{ |\frac{x-3}{2x}|\ \textgreater \ 1 }$
$\mathrm{ \frac{x-3}{2x}\ \textgreater \ 1 \ \ \ / \cdot 2x^2 \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ \frac{x-3}{2x}\ \textless \ -1 \ \ \ / \cdot 2x^2 } \\ \mathrm{x(x-3)\ \textgreater \ 2x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ x(x-3)\ \textless \ -2x^2} \\ \mathrm{x^2-3x-2x^2\ \textgreater \ 0 \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ x^2-3x+2x^2\ \textless \ 0} \\ \mathrm{-x^2-3x\ \textgreater \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ 3x^2-3x\ \textless \ 0} \\ \mathrm{-x(x+3)\ \textgreater \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ 3x(x-1)\ \textless \ 0} \\ \mathrm{x=0 \ \vee \ x=-3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ \ x=0 \ \vee \ x=1}$

$\mathrm{x \in (-3,1)- \{ 0\} }$

Zadanie 3.
$\mathrm{ \frac{6}{x}= \frac{6+12}{x+10} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal. : x \neq 0 \ \ \wedge \ \ x \neq -10} \\ \mathrm{6(x+10)=18x} \\ \mathrm{6x+60=18x} \\ \mathrm{-12x=-60} \\ \mathrm{x=5} \\ \\ \mathrm{odp. \ \ Ten \ ulamek \ to \ \frac{6}{5}. }$

Zadanie 4.
$\mathrm{ \frac{a}{x}- \frac{1}{x}=b-4 \ \ \ \ \ \ / \cdot x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ \ x \neq 0 \ \ \wedge \ \ b \neq 4 } \\ \mathrm{a-1=x(b-4) \ \ \ \ \ \ / : (b-4)} \\ \mathrm{ \frac{a-1}{b-4}=x } \\ \boxed{x= \frac{a-1}{b-4} }$

Zadanie 5.
$\mathrm{ \frac{x+1}{x-1}: \frac{x^2+x}{3x-3} } \\ \mathrm{x-1 \neq 0 \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ 3x-3 \neq 0 \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ x^2+x \neq 0} } \\ \mathrm{x \neq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \neq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x(x+1) \neq 0} \\ \mathrm{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \neq 0 \ \ \wedge \ \ x \neq -1} \\ \\ \mathrm{Dziedzina: \ \ x \in \mathbb{R}- \{ -1,0,1 \}}$

Zadanie 6.
$\mathrm{ \frac{z}{z-2} \leq \frac{z+6}{z^2-4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Zal.: \ \ z \neq 2 \ \ \wedge \ \ z \neq -2} \\ \mathrm{ \frac{z}{z-2}- \frac{z+6}{(z-2)(z+2)} \leq 0 } \\ \mathrm{ \frac{z(z+2)}{(z+2)(z-2)}- \frac{z+6}{(z-2)(z+2)} } \leq 0 } \\ \mathrm{ \frac{z^2 +2z-z-6}{z^2-4} \leq 0 } \\ \mathrm{ \frac{z^2+z-6}{z^2-4} \leq 0 \ \ \ \ \ / \cdot (z^2-4)^2 } \\ \mathrm{(z^2+z-6)(z^2-4) \leq 0}$
$\mathrm{z^2+z-6=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ z^2-4=0} \\ \mathrm{\Delta=1+24=25 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2=4} \\ \mathrm{z_1= \frac{-1-5}{2}=-3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z=2 \ \ \vee \ \ z=-2} \\ \mathrm{z_2= \frac{-1+5}{2}=2 } \\ \\ \mathrm{z \in [-3,-2)}$

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