Question

Pole trójkąta prostokątnego jest równe 180 cm² a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 4 cm. oblicz długości boków tego trójkąta

Answer 1

P=180cm²

więc wzór na pole to:
P=½a*b
180cm²=½a*b |*2
a*b=360cm² |:b
a=360cm²/b

tak o to nie mamy już boku "a" tylko 360cm²/b

jeszcze trzeba się pozbyć "c" - mamy dwa wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

r=2P/(a+b+c)
r=(a+b-c)/2

liczymy:

4cm=2*180cm²/(a+b+c) |*(1+b+c)
4cm=(a+b-c)/2 |*2

4cm*(a+b+c)=360cm² |:4cm
8cm=a+b-c

a+b+c=90cm
a+b-c=8cm

dajemy stronami (bo to układ równań) i mamy:
2a+2b=98cm |:2
a+b=49cm

teraz podstawiamy wyliczone "a"
a=360cm²/b

a+b=49cm
360cm²/b+b=49cm
360cm²/b + b - 49cm = 0 |*b
360cm² + b² - 49bcm = 0
b² - 49bcm + 360cm² = 0

liczymy deltę:
Δ=(-49)²-4*1*360
Δ=2401-1440=961
√Δ=31

liczymy możliwe b₁ i b₂:

b₁=(49-31)/2=18/2=9
b₂=(49+31)/2=80/2=40

czyli b=9cm lub b=40cm

teraz podstawiamy i liczymy
1⁰ dla b₁:
a₁=360cm²/9cm=40cm

2⁰ dla b₂
a₂=360cm²/40cm=9cm

tak więc w jakiejś tam kolejności jeden bok to zawsze 40cm a drugi 9cm (nie obchodzi nas, który to który) i z twierdzenia Pitagorasa:

(40cm)²+(9cm)²=c²
1600cm²+81cm²=c²
c²=1681cm² |√
c=41cm

a więc boki to:
40cm, 9cm, 41cm

co się zgadza z obwodem równym 90cm (a+b+c=90cm) więc na pewno jest dobrze :)

Answer 2

P=180
r=4
a+b+c=2x+2y+2r
a+b+c=2(x+y+r)
a+b+c=2(c+r)
r=(a+b-c)/2

UKLAD ROWNAN
a+b-c=8
ab=360→b=360/a
c²=a²+b²

(1)→c=a+b-8=a+360/a -8
podstawiam do (3)

a²+360²/a²+64+720-16*360/a-16a=a²+360²/a²

784-16*360/a-16a=0 mnoze razy a
784a-16*360-16a²=0 upraszczam przez 16
a²-49a+360=0
Δ=2401-1440=961 √Δ=31

a1=(49-31)/2=9 b1=360/9=40
a2=(49+31)/2=40 b2=360/40=9

c²=1600+81=1681 c=41

ODP
a=9 b=40 c=41


pozdrawiam

Hans

Answer 3

R=(a+b-c)/2 P=1/2*r(a+b+c)
a+b-c=8 P=1/2*a*b
a+b=8+c 1/2*r(a+b+c)=1/2*a*b
1/2*4(8+c+c)=180
2(8+2c)=180 /:2
8+2c=90
c= 41

2(a+b+41)=180 a²+b²=c²
a+b+41=90 a²+(49-a)²=41²
a+b=49 a²+2401-98a+a²=1681
b=49-a 2a²-98a+720=0 /:2
a²-49a+360=0
Δ=2401-1440
Δ=961
√Δ=31
a=(49-31)/2 lub a=(49+31)/2
a=9 lub a=40
b=40 b=9
c=41 c=41