Question

Podstawą trapezu jest średnica opisanego na nim okręgu, a przekątne tego trapezu przecinają się pod kątem 60 stopni. Wykaż, że suma długości jego podstaw jest trzy razy większa od promienia okręgu.

Answer 1

Trapez ten jest trapezem równoramiennym (bo jest wpisany w okrąg).

Oznacz r- promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Narysuj trapez ABCD, w którym AB to dłuższa, CD- krótsza podstawa.

Poprowadź przekątne AC i BD.

Podstawa AB jest średnicą okręgu, czyli
.

Kąty ACB i BDA to kąty wpisane w okrąg, oparte na średnicy okręgu, czyli są kątami prostymi.

Spójrz na trójkąt prostokątny BCP.
W tym trójkącie


Ponieważ trapez jest równoramienny, więc


Trójkąty ABP i CDP to trójkąty podobne.
Skala tego podobieństwa


Suma długości podstaw trapezu:


I to trzeba było wykazać.