Dla jakich wartości parametrów a, b dziedziną funkcji jest przedział (-3;4). Wyznacz zbiór wartości.... Question from @Marialila

January 2019 1 43 Report

Dla jakich wartości parametrów a, b dziedziną funkcji
$f(x)=log(-x^2+ax+b)$

jest przedział (-3;4).
Wyznacz
zbiór wartości tej funkcji

loitzl9006 To co w nawiasie musi być >0 dla iksów od -3 do 4
$-x^2+ax+b$ to jest funkcja kwadratowa która musi przyjmować wartości dodatnie w przedziale (-3;4)
Współczynnik przed $x^2$ tej funkcji jest równy -1
Zauważ że przykładem funkcji kwadratowej, która ma współczynnik przed x^2 równy -1 oraz która (przedstawionaw postaci iloczynowej przyjmuje wartości dodatnie dla iksów od -3 do 4 jest
$-1(x+3)(x-4)$

Wystarczy wymnożyć nawiasy i porównać współczynniki z $-x^2+ax+b$

$-1(x+3)(x-4)=-1(x^2-4x+3x-12)=\\ =-x^2+4x-3x+12=-x^2+x+12$

$-x^2+x+12=-x^2+ax+b \ \to \ \left \{ {{a=1} \atop {b=12}} \right.$

Zbiór wartości:

Najniższa wartość
Jeśli podstawa log. jest >1 (a u nas jest >1, u nas podst. log jest 10), to w przypadku gdy liczba logarytmowana będzie bliska zeru (tak będzie np. dla x=-2.999 bądź dla x=3.999 czyli na krańcach przedziału (-3;4) ) to wartość logarytmu dąży do $-\infty$

Najwyższa wartość
Będzie ona przyjmowana w wierzchołku paraboli $-x^2+x+12$
Policzmy $x_W$ czyli współrzędną x wierzchołka paraboli:

$x_W=\frac{-1}{2\cdot(-1)}=\frac{-1}{-2}=\frac12$

wartość tej funkcji $-x^2+x+12$ w wierzchołku wynosi:
$y_W=-(\frac12)^2+\frac12+12=-\frac14+\frac12+12=-\frac14+\frac24+12=\\= \frac14+12=12\frac14=\frac{49}4$

zatem najwyższą wartością $f(x)$ jest $\log(\frac{49}4)$ . Tę liczbę można też zapisać $2\log(\frac72)$ , z własności logarytmów

zbiór wartości funkcji jest taki
$\left( \ -\infty;2\log(\frac72) \right)$

2 votes Thanks 1