Question

Podstawą graniastosłupa prostopadłego jest trapez równoramienny ABCD, gdzie AB=CD=13cm, BC=11,AD=21.Pole przekroju DBB'D', ma 180 cm kwadratowych. Oblicz Pc i V.

Answer 1

powstanie figura jak na rysunku 1

dane :
długości odcinków
AB=13
CD=13
BC=11
AD=21
pole powierzchni przekroju DBB'D' = 180


aby policzyć objętość musimy znać pole powierzchni trapezu i wysokość (H)
aby policzyć pole powierzchni całkowitej potrzebujemy 2x pole powierzchni trapezu i pole ścian bocznych. ściany boczne rozrysowane są na rys 4, jak widać również potrzebujemy wysokości (H) figury

aby wyliczyć wysokość (H) możemy skorzystać ze wzoru na pole prostokąta, który jest przekrojem figury. wiemy, że pole wynosi 180. wzór na pole to w naszym wypadku przekątna trapezu (d) i wysokość (H) figury.

jak policzyć przekątną (d) trapezu? na rys2 mamy rozrysowany trapez i nałożone dane. wiadomo, że podstawą jest trapez równoramienny czyli kąty odcinków AB i CD przy wierzchołkach A i D muszą być te same, bo inaczej nie byłby to trapez równoramienny. dzięki temu możemy poprowadzić wysokości (h) trapezu z punktów B i C. Podzieli to nam odcinek AD na 3 części 5, 11, 5. Punkt G to orientacyjny punkt dla dalszego zrozumienia wyliczeń. Wiedząc, że dolna podstawa jest podzielona na 3 części (5,11,5) widzimy, że przekątną trapezu (d) najlepiej wyliczyć z twiedzenia pitagorasa dla trójkąta (GBD). Znamy jedynie długość odcinka GD = 16 (11+5), brakuje długości BG czyli wysokości (h) trapezu.

aby policzyć wysokość trapezu patrzymy na trójkąt AGB i korzystamy z twierdzenia pitagorasa. a^2 + b^2 = c^2. w naszym wypadku a do odcinek AG = 5, b to odcinek GB, którego będziemy szukać i c to AB = 13.
podstawiamy do wzoru 5^2 + b^2 = 13^2 i wyjdzie nam b^2 = 169 - 25 (przenosimy 5^2 na drugą stronę ze znakiem przeciwnym i wyliczamy, że to 25) czyli b^2 = 144. b = 12.
wysokość (h) to nasze b czyli h =12

wracamy to trójkąta GBD. korzystamy z twierdzenia pitagorasa
a^2 + b^2 = c^2. w naszym wypadku a do odcinek GB = h = 12, b to odcinek GD=16, c będziemy szukać, to nasza przekątna.  
podstawiamy do wzoru.
12^2 + 16^2 = c^2
144 + 256 = c^2
c^2 = 400
c = 20
długość naszej przekątnej (d) to wyliczone 20 :-)

skoro mamy już przekątną to wracamy do rys1 i patrzymy na przekrój. wiadomo, że to prostokąt. rys3 ilustruje to dokładnie. wiadomo, że jego pole powierzchni to 180. wzór na pole prostokąta w naszym wypadku
P=d*H (duże H bo całej figury, nie mylić z tym małym w trapezie)
szukamy H, przeksztacamy wzór
H=P/d
i obliczamy wysokość
H=180/20
H=9

Skoro mamy wysokość to możemy wyliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość.

Pole powierzchni całkowitej to 2 pola trapezu i pole powierzchni ścian bocznych.

Wzór na pole trapezu
P(t) = h * (a+b)/2
a,b to podstawy czyli zgodnie z rys2 11 i 21, h mamy wyliczone
podstawiamy dane

P(t) = 12 * (11+21)/2

tu już sama wylicz :-)

Pole powierzchni bocznej możemy liczyć każdy prostokąt osobno lub skorzystać z siatki na rys4 i obliczyć pole dużego prostokąta, który składa się z 4 mniejszych

P(b) = H * (13+11+13+21)
P(b) = 9 * (13+11+13+21)

standardowo wylicz sama.

P(c) = 2* P(t) + P(b)

V = P(t) * H

i to też wylicz sama :)

masz extra zadanka :-)