Question

Pilne, potrzebuje na jutro !
PODOBIEŃSTWO TRÓJKĄTÓW

W terenie mamy wyznaczony trójkąt o wymiarach 25,20,15 m. Obszar tego trójkąta podzielono linią równoległą do najdłuższego boku, na dwie części o równym polu. Jaką długość ma linia podziału? Oblicz obwód powstałego trapezu.

( ΔABC ~ ΔADE
∢ADE =∢ABC )

Answer 1

Dane:
ΔABC ~ ΔADE
∢ADE = ∢ABC
BC II DE (punkt D leży na boku AB, a punkt E na boku CA)
AB = 20
BC = 25
CA = 15
Pole ΔADE = P trapezu DBCE = połowa pola ΔABC
P(ΔADE)=½P(ΔABC), stąd
P(ΔADE)/P(ΔABC) = ½ = k²
{Iloraz pól trójkątów podobnych w skali k jest równy k² (kwadrat skali podobieństwa k)}
k² = ½, stąd k = ¹/√2 = √²/₂
Zatem boki trójkątów ADE i ABC są proporcjonalne
w skali k= √²/₂
Obliczamy długość boku DE w ΔADE (linia podziału):
DE/BC = k
DE/25 = √²/₂, stąd DE = 12,5 √2
Obliczamy długość boku AD w ΔADE:
AD/AB = k
AD/20 = √²/₂, stąd AD = 10 √2
i następnie długość boku DB trapezu DBCE:
DB = AB - AD = 20 - 10 √2
Obliczamy długość boku EA w ΔADE
EA/CA = k
EA/15 = √²/₂, stąd AD = 7,5 √2
i następnie długość boku CE trapezu DBCE:
CE = CA - EA = 15 - 7,5 √2
Obwód trapezu DBCE:
DB + BC + CE + DE = 20-10 √2+25+15-7,5 √2+12,5 √2 =
60-17,5√2 +12,5 √2 = 60 - 5 √2 = 5(12 - √2)
Odp. Długość odcinka podziału 12,5 √2, a obwód powstałego
z podziału trapezu 5(12 - √2).