Question

pilne !Daje naj ! wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji w podanym przedziale:

f(x)=-x2+2x+4 x należy <-1,2>

zad 2 jaka jest najwieksza mozliwa wartosc iloczynu sdwoch liczb ktorych suma jest rowna 100 .

Answer 1

Zad1

y=-x²+2x+4

a=-1

b=2

c=4

x(w)=-b/2a

x(w)=-2/-2=1

Stąd dla argumentu 1 wartość funkcji będzie największa, gdyż ramiona paraboli są skierowane do dołu:

f(1)=-1²+2·1+4=-1+2+4=5

Najdalej na osi liczbowej od 1 w podanym przedziale znajduje się -1, stąd dla tego argumentu wartość funkcji będzie najmniejsza:

f(-1)=-(-1)²+2·(-1)+4=-1-2+4=1

 

Zad2

x --- liczba

100-x --- druga liczba

 

y=x(100-x)

y=-x²+100x

 

x(w)=-b/2a

x(w)=-100/-2=50

 

Stąd dla argumentu 50, wartość funkcji będzie największa, toteż :

 

f(50)=-50²+100·50=-2500+5000=2500

 

Odp.: Największa możliwa wartość tego iloczynu to 2500.

Answer 2

Zadanie 1

Mając wzór w takiej postaci możemy odczytać, gdzie znajduje się parabola. +1 znajdujące się przy x informuje, że wierzchołek paraboli jest przesunięty o 1 jednostkę w lewo od początku układu współrzędnych, a +3 na końcu równości informuje, że cały wykres przenosimy o 3 jednostki do góry. A więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (3;-1). Przedział, który analizujemy, zaczyna się od -1, czyli przecina wierzchołek paraboli, i kończy na liczbie 2. Funkcja w tym przedziale jest rosnąca, co oznacza, że największą wartość ma dla największego x z tego przedziału i analogicznie najmniejszą wartość ma dla najmniejszego x z tego przedziału. A więc największa wartość jest dla x=2, a najmniejsza dla x=-1. Wystarczy teraz wstawić x do wzoru:

a) Największa wartość

b) Najmniejsza wartość

Odpowiedź: Największa wartość funkcji w podanym przedziale to 12, a najmniejsza to 3.

Zadanie 2

Oznaczmy jedną liczbę jako x, a drugą jako 100-x. Wtedy rzeczywiście ich suma:

x+100-x=100

jest równa 100.

Iloczyn tych liczb to x(100-x). Aby sprawdzić, jaka jest największa wartość, przedstawić równość w postaci funkcji.

Takie przekształcenie wzoru lepiej pozwala wyobrazić sobie wykres funkcji. Wiemy, że jest to odwrócona (z powodu minusa przy nawiasie podniesionym do kwadratu) parabola, której wierzchołek przesunięto o 50 jednostek w lewo i podniesiono do góry o 2500 jednostek do góry. Na wykresie odwróconej paraboli funkcja przyjmuje największą wartość właśnie w jej wierzchołku. Skoro wierzchołek został podniesiony o 2500 jednostek do góry to oznacza właśnie że .

Odpowiedź: Największa wartość tego iloczynu to 2500.