Question

Oblicz odległość między prostymi równoległymi k i l, jeśli
k: x-2y+4=0
l: -2x+4y-3=0

Answer 1

I sposób
Odległość d między dwiema prostymi równoległymi o równaniach y = ax + b₁ i y = ax + b₂ wyraża się wzorem:
d = |b₁ - b₂| / √1 + a²

k II l
k: x - 2y + 4 = 0
-2y = -x - 4 /:(-2)
y = ½*x + 2
a = ½; b₁ = 2

l: -2x + 4y - 3 = 0
4y = 2x + 3 /:4
y = ½*x + ¾
a = ½; b₂ = ¾

d - odległość między prostymi k i l, k II l
d = |b₁ - b₂| / √1 + a²
d = |2 - ¾| / √1 + (½)² = 1¼ / √1 + ¼ = ⁵/₄ : √1 + ¼ = ⁵/₄ : √1¼ = ⁵/₄ : √⁵/₄ = ⁵/₄ : (√5/√4) = ⁵/₄ * ²/√5 = 5 / 2√5 = 5√5 /2√5*√5 = 5√5 /2*5 = √5 / 2

Odp. Odległość między prostymi k i l wynosi √5 / 2

II sposób
Jeśli proste : Ax + By + C = 0 i Ax + By + D = 0 są równoległe to ich odległość d wyraża się wzorem:
d = |D - C| / √A² + B²

k: x - 2y + 4 = 0
l: -2x + 4y -3 = 0
Musimy doprowadzić równania tych prostych do takiej postaci, aby współczynniki przy x i y były równe, dlatego równanie prostej l podzielimy obustronnie przez (- 2)
-2x + 4y -3 = 0 /: (-2)
x - 2y + 1,5 = 0
Teraz proste mają postać
k: x - 2y + 4 = 0
A = 1; B = - 2; C = 4

l: x - 2y + 1,5 = 0
A = 1; B = - 2; D = 1,5

d = |1,5 - 4| / √1² + (- 2)² = |-2,5| / √1 + 4 = 2,5 / √5 = 2,5√5 / √5 * √5 = 2,5√5 / 5 = √5 / 2

Odp. Odległość między prostymi k i l wynosi √5 / 2

Answer 2

W załączniku.