Question

oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej ściany bocznej równej 6 cm jeśli ta przekątna: a) z krawędzią podstawy tworzy kąt 45 (stopni) b) z jedną z krawędzi bocznych tworzy kąt 60 (stopni) c) z przekątną postawy tworzy kąt 60 (stopni)

Answer 1

oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej ściany bocznej równej 6 cm jeśli ta przekątna: a) z krawędzią podstawy tworzy kąt 45 °

krawedz podstawy=a

wysokosc bryly=h

przekatna sciany bocznej D=6cm

przekatna podstawy d=a√2

V=?

----------------------------

sin45°=h/D

√2/2=h/6

h=6√2/2 =3√2

 

cos45=a/D

√2/2 =a/6

a=3√2

 

Pp=a²=(3√2)²=18 cm²

V=Pp·h=18cm²·3√2cm=54√2cm³

 

b) z jedną z krawędzi bocznych tworzy kąt 60 (stopni)

sin60°=a/D

√3/2=a/6

a=6√3/2=3√3cm

 

tg60°=a/h

√3=3√3/h

h=3√3/√3=3cm

Pp=a²=(3√3)²=27cm²

V=Pp·h=27cm²·3=81cm³

 

c) z przekątną postawy tworzy kąt 60 (stopni)

przekatna podstawy d=a√2 to ½d=a√2/2

zatem 2 przekatne scian bocznych tworza  z przekatna podstawy Δ rownoramienny o kacie przy plaszczyznie podstawy 60°

cos60=(½d)/D

½=(a√2/2)/6

2· a√2/2 =6

a√2=6

a=6/√2=3√2cm

z pitagorasa: a²+h²=D²

                     (3√2)²+h²=6²

                          h²=36-18

                            h=√18=3√2

Pp=a²=(3√2)²=18cm²

V=Pp·h=18cm²·3√2=54√2cm³