Question

Napisz równanie okręgu o promieniu sqrt(5) (r równe pierwsiastek z 5...) stycznego do prostej x-2y-1=0 w punkcie A=(3;1) ???

Answer 1

Równanie okręgu o środku S=(a,b) i promieniu r= √5:
(x- a)²+(x- b)²= r²
I) Okrąg jest styczny do prostej x - 2y - 1= 0 w punkcie A=(3,1),
więc ten punkt należy do okręgu, czyli:
(3- a)²+ (1- b)² = (√5)²
(3- a)²+ (1- b)² = 5
II) Prosta ma postać x - 2y - 1= 0, -2y= -x+ 1/:(-2), y= ½x- ½
i jest prostopadła do prostej y= mx+ k przechodzącej przez punkt styczności A=(3,1) {prosta zawiera promień prostopadły w punkcie styczności i środek okręgu S=(a,b)}
współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych
spełniają warunek ½*m= -1, stąd m = -2
zatem prosta prostopadła ma wzór y = -2x+ k i przechodzi przez A=(3,1), więc 1= -2*3 + k, stąd k= 1+ 6 = 7
czyli y = -2x+ 7
III) Środek okręgu S=(a,b) należy do prostej y = -2x+ 7
czyli b= -2a+ 7 {za y wstawiamy b, a za x wstawiamy a}
ponieważ
(3- a)²+ (1- b)² = 5 i b= -2a+ 7
więc z obu równań wyznaczamy współrzędne a i b środka okręgu:
(3- a)²+ [1- (-2a+ 7)]² = 5
(3- a)²+ (2a- 6)² = 5
9- 6a+ a² + 4a²- 24a+ 36 - 5= 0
5a²- 30a+ 40= 0/:5
a²- 6a+ 8= 0
Δ= 36-4*8= 4
√Δ = 2
a₁= (6-2)/2= 4/2= 2, a₂= (6+2)/2= 8/2= 4,
b₁= -2a₁+ 7= -2*2+ 7 = 3, b₂= -2a₂+ 7= -2*4+ 7= -1
S₁= (2, 3), S₂=(4, -1)
IV) Zatem równanie okręgu ma postać:
(x- 2)²+ (y- 3)² = 5
lub
(x- 4)²+ (y+ 1)² = 5
Odp. Równanie okręgu o promieniu √5 stycznego
do prostej x- 2y- 1= 0 w punkcie A=(3;1) ma postać:
(x- 2)²+ (y- 3)² = 5
lub
(x- 4)²+ (y+ 1)² = 5