Question

Boki trojkata zawieraja sie w prostych x-y+3=0 ; 3x-y-7=0 ; x+y-1=0 . WYkaz ze trojkat jest prostakatny. Oblicz pole tego trojkata. ???

Answer 1

Dwie z tych prostych muszą być do siebie prostopadłe:
x-y+3=0
prosta prostopadła: x+y+c=0 z tego wynika, ze trzecia prosta jest prostopadła do tej pierwszej, gdyż współczynniki przy x i y są identyczne.
znajdujemy wierzchołki tego trojkąta:
x-y+3=0 x-y+3=0 3x-y-7=0
3x-y-7=0 x+y-1=0 x+y-1=0

x=y-3 x=y-3 x=1-y
3y-9-y-7=0 y-3+y-1=0 3-3y-y-7=0

2y-16=0/:2 2y-4=0/:2 -4y-4=0
y-8=0 y-2=0 y+1=0
y=8 y=2 y=-1
x=5 x=-1 x=2
A=(5,8)
B=(-1,2)
C=(2,-1)
Pole Trójkąta:
P=½|(-1-5)(-1-8)-(2-8)(2-5)|
P=½|36|
P=½36
P=18

Answer 2

Oznaczenia:
(A,B,C) punkty przecięcia sie prostych, wierzchołki trójkąta
k: x-y+3=0 ;
m: 3x-y-7=0 ;
n: x+y-1=0 ;
Żeby obliczyć punkty wspólne tych prostych musimy ułożyć 3 Układy równań:
{x-y+3=0 ; 3x-y-7=0} pierwszy
{3x-y-7=0 ; x+y-1=0}drugi
{x-y+3=0 ; x+y-1=0} trzeci
Po rozwiązaniu mamy
{x=5,y=8} pierwszy
{x=2,y=-1}drugi
{x=-1y=2}trzeci
są to współrzędne punktów więc
A(5,8);B(2,-1);C(-1,2)
Możemy sprawdzić czy trójkąt jest prostokątny używając iloczynu skalarnego(jeśli w którymś wyjdzie 0 to znaczy że trójkąt jest prostokątny,jeśli iloczyn jest ujemny to znaczy żę kąt jest ostry; jeśli iloczyn wyjdzie dodatni to znaczy że kąt jest rozwarty)Do iloczynu skalarnego potrzebne nam są wektory
(→)jako wektor
→AB=[2-5,-1-8]=[-3,-9]
→BC=[-1-2,2+1]=[-3,3]
→CA=[2-8,1-5]=[6,-6]
(°)jako znak iloczynu skalarnego
→AB°→BC=-3*(-3)+3*(-9)=9-27=-18
→AB°→AC=-3*(-6)+6*(-9)=18--54=-36
→BC°→AC=-3*(6)+3*6=0
Czyli jest prostokątny, bo kąt BCA jest prosty.(Żeby obliczyć pole potrzeba nam długości przyprostokątnych)
P=1/2*|AC|*|BC|
Długości liczymy ze wzoru √(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
|AC|=√(-1-5)²+(2-8)²=6√2
|BC|=√(-1-2)²+(2+1)²=3√2
P=1/2*6√2*3√2=18cm²
Licze na naj :)