Question

Na czterech półkach mają być ustawione książki. Na pierwszej półce postawiono dwie, a na czwartej dziewięć książek. Oblicz ile książek należy postawić na drugiej i trzeciej półce, aby liczby książek na trzech pierwszych półkach były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a na trzech ostatnich kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Jest to zadanie otwarte rozszerzonej odpowiedzi.

Answer 1

Więc na półkach stoją książki. Zatem mamy taki układ (piszę w kolejności od pierwszej półki, do drugiej półki):
2, a₁, a₂, 9. Trzy pierwsze wyrazy mają być ciągiem arytmetycznym. Żeby ciąg nazywać arytmetycznym różnica wyrazów an-1 i an musi być stała, zatem powstaje nam równość:
a₁ - 2 = a₂ - a₁. By ciąg był geometryczny, iloraz wyrazów an-1 i an również musi być stała, zatem istnieje równość:
a₂ / a₁ = 9 / a₂ (/ - kreska ułamkowa). Zróbmy z tego zatem układ równań, który będzie wyglądał tak:
{a₁ - 2 = a₂ - a₁ (tutaj przenieśmy niewiadome na jedną stronę)
{a₂ / a₁ = 9 / a₂ (tutaj skorzystajmy z proporcji).

{a₁ + a₁ - a₂ = 2 (tutaj zredukujmy wyrazy podobne)
{a₂² = 9a₁

{2a₁ - a₂ = 2 (wyznaczmy tutaj a₁)
{a₂² = 9a₁. Zrobię to metodą podstawiania.

{a₁ = 2 + a₂ / 2
{a₂² = 9a₁ (podstawmy pod a₁ wartość, której jest równa). Opuśćmy na chwilę ten układ i rozwiążmy powstałą równość.
a₂² = 9 * 2 + a₂ / 2 . Zapiszmy lewą stronę w postaci jednego ułamka. Zatem:
a₂² = 9(2 + a₂) / 2
a₂² = 18 + 9a₂ / 2 . Pomnóżmy przez 2
2a₂² = 18 + 9a₂. Przenieśmy wszystko na lewą stronę, by w wyniku zostało zero (przenosząc 18 i 9a₂ ze zmienionym znakiem), zatem:
2a₂² - 9a₂ - 18 = 0. Jak widzimy, a₂ jest liczbą książek na drugiej półce, więc na półce musi być liczba książek, która jest liczbą naturalną dodatnią (nie może być równa zeru), a więc dziedzina to: a₂∈N₊. Obliczmy równanie kwadratowe. Liczymy deltę.
Δ = 81 + 144
Δ = 225. Wyznaczmy dwa rozwiązania
Rozwiązanie 1. a₂ = 9 + 15 / 4 = 6 ∈ D
Rozwiązanie 2. a₂ = 9 - 15 / 4 = -1½ ∉ D, zatem:
a₂ = 6. Skoro wyznaczyliśmy a₂ raczej trzeba też wyznaczyć a₁. Mieliśmy napisane, że:
a₁ = 2 + a₂ / 2 i wiemy, że a₂ = 6. Podstawmy to.
a₁ = 2 + 6 / 2
a₁ = 4. Zatem: a₁ = 4 i a₂ = 6, więc powróćmy do liczby książek i napiszmy, ile jest na każdej półce:
1 półka - 2 książki
2 półka - 4 książki (a₁)
3 półka - 6 książek (a₂)
4 półka - 9 książek.
Odpowiedź: Na drugiej półce należy postawić 4 książki, zaś na trzeciej trzeba postawić 6 książek.