Question

Między liczby 3 i 16/27 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymać ciąg geometryczny a pomiędzy liczby 5 i 11 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymac ciąg arytmetyczny.
Jest to zadanie otwarte krótkiej odpowiedzi

Answer 1

Więc zajmę się pierw ciągiem geometrycznym. Mamy taki ciąg:
3, a₂, a₃, a₄, ¹⁶/₂₇. Zapiszmy wszystko, by wszędzie było a₂, zatem ciąg otrzyma postać:
3, a₂, a₂ * q, a₂ * q², ¹⁶/₂₇. Skoro iloraz an i an-1 w ciągu geometrycznym jest stały, zatem zachodzi równość:
Trzeci wyraz : drugi wyraz = drugi wyraz : pierwszy wyraz. Podstawmy zatem te wyrazy i otrzymamy:
a₂ * q / a₂ = a₂ / 3 (po prawej stronie a₂ się skracają i zostaje q).
q = a₂ / 3. Istnieje również druga równość:
Drugi wyraz : pierwszy wyraz = piąty wyraz : czwarty wyraz.
Podstawmy to.
a₂/3 = ¹⁶/₂₇/a₂ * q² (skorzystajmy z proporcji)
a₂ * a₂ * q² = 3 * ¹⁶/₂₇ (3 i 27 się skraca)
a₂² * q² = ¹⁶/₉ Pod q podstawmy to co wiemy (wiemy, że q = a₂/3)
a₂² * (a₂/3)² = ¹⁶/₉
a₂² * a₂²/9 = ¹⁶/₉ (pomnóżmy przez 9)
a₂² * a₂² = 16
a₂⁴ = 16 (wyciągnijmy pierwiastek czwartego stopnia)
a₂ = 2. Wyznaczmy teraz q.
q = a₂ / 3 , i a₂ = 2
q = ⅔. Wyliczmy zatem a₃ i a₄
a₃ = 2 * ⅔ = 1 ⅓
a₄ = 1 ⅓ * ⅔ = ⁸/₉
Zatem powstał nam ciąg geometryczny:
3, 2, 1 ⅓, ⁸/₉, ¹⁶/₂₇.
Teraz zajmijmy się tym ciągiem arytmetycznym. Mamy wyrazy tego ciągu:
5, a₂, a₃, a₄, 11. Zamieńmy to, żeby było tylko a₂, zatem powstał nam ciąg:
5, a₂, a₂ + r, a₂ + 2r, 11.
Skoro różnica ciągów an i an-1 jest stała, zatem zachodzi równość:
Drugi wyraz - pierwszy wyraz = trzeci wyraz - drugi wyraz
Podstawmy sobie to, otrzymamy:
a₂ - 5 = a₂ + r - a₂
a₂ - 5 = r. Istnieje również taka równość:
Czwarty wyraz - trzeci wyraz = piąty wyraz - czwarty wyraz
Podstawmy sobie to:
(a₂ + 2r) - (a₂ + r) = 11 - (a₂ + 2r). Pozbądźmy się nawiasów.
a₂ + 2r - a₂ - r = 11 - a₂ - 2r. Uporządkujmy ten bałagan.
r = 11 - a₂ - 2r . Wyznaczmy r. W celu tym przenieśmy "-2r" ze zmienionym znakiem.
3r = 11 - a₂. Wcześniej wyznaczyliśmy taką równość:
r = a₂ - 5. Pomnóżmy to przez 3.
3r = 3a₂ - 15. Widzimy, że 3r = 3r, więc wyrażenie za "3r" są sobie równe, więc podstawmy ja do równości:
3a₂ - 15 = 11 - a₂. Rozwiążmy równanie. Przenieśmy a₂ na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem oraz -15.
4a₂ = 26 / podzielmy na 4
a₂ = 6,5. Wiemy, że r = a₂ - 5, i a₂ = 6,5 wyznaczmy zatem r.
r = 6,5 - 5
r = 1,5. Wyznaczmy pozostałe wyrazy.
a₁ = 5
a₂ = 6,5
a₃ = 6,5 + 1,5 = 8
a₄ = 8 + 1,5 = 9,5
a₅ = 11.
Więc masz już podany ten ciąg.