Question

Wyznacz ciąg arytmetyczny, dla którego suma czwartego i szóstego wyrazu jest równa 4 oraz suma piątego, siódmego i ósmego wyrazu jest równa 16.

Answer 1

Z zadania wiemy, że:
a₄ + a₆ = 4. Zapiszmy to w postaci takiej, żeby wszędzie było a₁
a₄ = a₁ + 3r
a₆ = a₁ + 5r. Skoro tak zapisaliśmy, podstawmy to do działania. Zatem:
a₁ + 3r + a₁ + 5r = 4
2a₁ + 8r = 4. Wiemy z zadania również, że:
a₅ + a₇ + a₈ = 16. Zapiszmy to również w takiej postaci, żeby wszędzie było a₁. Więc:
a₅ = a₁ + 4r
a₇ = a₁ + 6r
a₈ = a₁ + 7r. Podstawmy to do równania naszego, zatem:
a₁ + 4r + a₁ + 6r + a₁ + 7r = 16
3a₁ + 17r = 16. Zatem mamy układ równań. Rozwiążmy go.

{2a₁ + 8r = 4 /*3 (te { to są klamerki)
{3a₁ + 17r = 16 /*(-2)
Pomnóżmy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez -2 (wtedy przy a₁ będą przeciwne współczynniki -6 i 6 u obliczymy za pomocą przeciwnych współczynników) Otrzymamy zatem:
{6a₁ + 24r = 12
+{-6a₁ - 34r = -32
________________
-10r = -20 /:2
r = 2
Wyliczmy zatem a₁ z równania np. 2a₁ + 8r = 4 i r = 2 (jak obliczyliśmy). Otrzymamy:
2a₁ + 8 * 2 = 4
2a₁ + 16 = 4
2a₁ = -12
a₁ = -6.
Mamy wyznaczyć ciąg, a więc sądzę, że wzór. Mamy dane:
a₁ = -6
r = 2. A wzór na "enty" wyraz ciągu to:
an = a₁ + (n - 1)r. Podstawmy wiadome.
an = -6 + 2(n - 1)
an = -6 + 2n - 2
an = 2n - 8.
Odpowiedź: Wzór tegoż ciągu ma postać: an = 2n - 8.