Question

1. Zbadaj monotoniczność ciągu danego wzorem an=1/n (a,n na dole, = 1 w liczniku i n, w mianowniku).

Podaj 20-ty wyraz tego ciągu.

2. Sprawdź ,czy podane ciągi są arytmetyczne :

a) an = -3n + 8

b) bn= ( 2, 7, 12, 17, …)

Kiedy ciąg nazywamy arytmetycznym ?

3. Zbadaj czy podane ciągi są arytmetyczne. Dla ciągu , który jest arytmetyczny podaj

a1 oraz r .

a) an = 2n² -3

b) bn= ( 4, 1, -2, -5, -8)

Answer 1

1. Zbadaj  monotoniczność  ciągu  danego  wzorem      an=1/n       (a,n na dole, = 1 w liczniku i n, w mianowniku).

Podaj 20-ty  wyraz  tego  ciągu.

Zbadać monotoniczność ciągu tzn. określić czy ciąg jest rosnacy czy malejący;

 

Ciag jest rosnący, gdy różnica wyrazu nastepnego i poprzedniego a(n+1)- an jest dodatnia.

Ciag jest malejący, gdy różnica wyrazu nastepnego i poprzedniego a(n+1)- an jest ujemna.

        1

an = ---

        n

Najpierw nalezy utworzyć wyraz nastepny danego ciagu, tzn. a(n+1).Aby ten wyraz uzyskać trzeba w miejsce n wstawić (n+1)

                1

a(n+1) =  ----

              (n+1)

Teraz nalezy utworzyć różnice  a(n+1) - an

a(n+1) - an = 1/(n +1)  - 1/n

a(n+1) - an = [ n - (n+1)] / [ n(n+1)]

a(n+1) - an = [ n -n -1] / [n(n+1)]

a(n+1) - an = (-1)/[n(n+1)]

lub inaczej zapisane:

                     (-1)

a(n+1) - an = --------

                    n( n +1)

mianownik tj  n(n+1) jest zawsze dodatni, bo n jest liczbą naturalna (całkowitą dodatnią),a licznik jest ujemny, więc  cały ułamek jest ujemny,  zatem z def. ciagu mamy, ze ciąg an jest malejacy

 

Obliczam 20 -ty wyraz ciągu

a20 =  1/ 20

 

2. Sprawdź  ,czy podane  ciągi  są  arytmetyczne  :

 

Ciag liczbowy nazywamy  ciagiem arytmetycznym, gdy różnica  r między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio do poprzedzajacym jest stała dla danego ciagu  : a(n+1) - an = r = const.

 

a)  an =   -3n + 8

Obliczam wyraz nastepny : a(n+1)

a(n+1) = -3(n+1) +8

a(n+1) = -3n -3 +8

a(n+1) = -3n +5

 

Teraz sprawdzam czy róznica r jest stała ( stałą liczbą)

r = a(n+1) - an = -3n +5 - (-3n +8)

r = a(n+1) - an = -3n +5 +3n -8

r = a(n+1) - an = -3

r = -3

Różnica wynosi  r =3, czyli ciag an jest arytmetyczny

 

b)  bn= ( 2, 7, 12, 17, …)

 

z podanego ciagu wynika ,że:

b1 = 2

b2 = 7

b3 = 12

b4 = 17

Sprawdzam czy róznica jest stała ( stałą liczbą)

r = b2 - b1 = b3 - b2 = b4 -b3

r = 7 -2 = 12 - 7 = 17 -12 = 5

r = 5

 

b1 = 2

r = 5

Różnica jest stała ( jest stałą liczbą) r = 5, czyli ciag bn jest atytmetyczny

Kiedy  ciąg  nazywamy  arytmetycznym  ?

 

Ciag liczbowy nazywamy  ciagiem arytmetycznym, gdy różnica  r między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio do poprzedzajacym jest stała dla danego ciagu  : a(n+1) - an = r = const.

 

 

3. Zbadaj  czy  podane  ciągi  są  arytmetyczne. Dla ciągu , który  jest  arytmetyczny  podaj

a1  oraz   r  .

 

Ciag liczbowy nazywamy  ciagiem arytmetycznym, gdy różnica  r między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio do poprzedzajacym jest stała dla danego ciagu  : a(n+1) - an = r = const.

a)  an =  2n² -3

Obliczam  wyraz nastepny

a(n+1) = 2*(n +1)² -3

a(n+1) = 2(n² +2n +1) -3

a(n+1) = 2n² +4n +4 -3

a(n+1) = 2n² +4n +1

 

Sprawdzam, czy różnica   r = a(n+1) - an  jest stała ( jest liczba stałą)

r = a(n=1) - an = 2n² +4n +1 - (2n² -3)

r = a(n=1) - an = 2n² +4n +1 - 2n² +3

r = a(n=1) - an = 4n -2

Róznica  = 4n -2  nie jest liczba stałą, zależy od n, przyjmuje r óżne wartości w zależności od tego ile wynosi n

Zatem ciag an =  2n² -3 nie jest arytmetyczny

 

 

b)  bn=  ( 4, 1, -2, -5, -8)

Z zapisu ciagu liczbowego wynika:

b1 = 4

b2 = 1

b3 = -2

b4 = -5

b5 = -8

r = b2 -b1 =b3 - b2 = b4- b3 = b5 -b4 = const

r = 1 - 4 = -2 -1 = -5 -(-2) = -8 -(-5) =  -3 = const.

 

Różnica wynosi r = -3 , czyli ciąg bn jest arytmetyczny

b1 = 4

r = -3