Question

zad.1

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=⁵/₉n²-5. Wskaż wszystkie wyrazy tego ciągu mniejsze od 10.

zad.2

Rozwiązania równania

-3(x-4)(x-8)(x-c)=0

tworzą rosnący ciąg geometryczny. Oblicz możliwe wartości c. Wypisz te ciągi.

Answer 1

Zad. 1

Zatem:

Szukamy miejsc zerowych

 

 

 

Zaznaczamy miejsca zerowe -3√3 i 3√3 na osi i rysujemy przybliżony wykres - parabolę, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 1 > 0. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie:

Uwzgledniając warunek, że n ∈ N⁺ otrzymujemy:

 

Odp. Wyrazy ciągu (an) mniejsze od 10 to wyrazy: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

 

Zad. 2

 

 

 

 

Z uzyskanych rozwiązań możemy uzyskać nastepujące ciągi:

1) 4, 8, c

2) 4, c, 8

3) 8, 4, c

4) 8, c, 4

5) c, 4, 8

6) c, 8, 4

 

Jednak zgodnie z warunkami zadania mają to być ciągi rosnące, czyli należy uwzględnić warunki dla rosnącego ciągu geometrycznego:

Ciąg geometryczny jest rosnący wtedy gdy: a₁ > 0 i q > 0 lub a₁ < 0 i q ∈ (0, 1), gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ()

 

Zatem odrzucamy ciągi 3, 4 i 6. Pozostają nam ciągi: 1, 2 i 5.

1) 4, 8, c

q = 8 : 4 = 2

c = 8 · 2 = 16

Ciąg: 4, 8, 16

 

2) 4, c, 8

z własności ciągu:

c² = 4 · 8

c² = 32

c = √32 lub c = - √32

c = - √32 odrzucamy, bo ciąg ma być rosnący, zatem

c = √32 = √16·2 = 4√2

Ciąg: 4, 4√2, 8

 

5) c, 4, 8

q = 8 : 4 = 2

c · 2 = 4 /: 2

c = 2

Ciąg: 2, 4, 8

 

Odp. Ciągi, które tworzą rozwiązania równania to: 4, 8, 16 i 4, 4√2. 8 oraz 2, 4, 8.