Question

Minta bantuan no 14, 15, 16. terima kasih

Answer 1

Nomor 14.
Pada kurva y = 2x² + kx + 1 di titik (-1,2) memiliki garis normal yang sejajar dengan 3y - x = 9 (gradien = 1/3).

Garis normal memiliki sifat tegak lurus dengan garis tangen, yang mana gradien garis tangen (garis singgung) diberikan -3.

Dengan menggunakan turunan untuk gradien garis tangen:
y' = 4x + k

Dengan x = -1, dengan y' = -3
-3 = 4(-1) + k
-3 = -4 + k
k = 1


Nomor 15.
Pada persamaan implisit x² + 3y² = 19 + 2xy
Diferensiasikan terhadap x untuk mendapatkan:
2x + 6y. dy/dx = 0 + 2(1.y + x. dy/dx)
2x + 6y. dy/dx = 2y + 2x. dy/dx

Lakukan dy/dx ke ruas kiri:
6y. dy/dx - 2x. dy/dx = 2y - 2x

Sederhanakan:
3y. dy/dx - x. dy/dx = y - x

Menjadi:
(3y - x) dy/dx = y - x

Maka, diperoleh gradien garis tangennya adalah:
dy/dx = (y - x)/(3y - x)

Berabsis 2, tentukan ordinatnya dengan mensubstitusikannya di persamaan awal
2² + 3y² = 19 + 2(2)y
4 + 3y² = 19 + 4y
3y² - 4y - 15 = 0
(3y + 5)(y - 3) = 0

Kasus 1: Melalui (2, -5/3)
Dengan gradien garis tangen dari dy/dx yang disubstitusikan nilai x dan y:
m = (-5/3 - 2) / (3(-5/3) - 2)
m = (-11/3) / (-7)
m = 11/21
Gradien garis normalnya adalah m' = -21/11
Persamaan garis normalnya adalah:
y + 5/3 = -21/11 (x - 2)
11y + 55/3 = -21x + 42
33y + 55 = -63x + 126
63x + 33y - 66 = 0

Kasus 2: Melalui (2,3)
Gradien garis tangennya:
m = (3 - 2) / (3(3) - 2)
m = 1/7
Sehingga, gradien garis normalnya adalah -7.
Persamaan garis normal:
y - 3 = -7(x - 2)
y - 3 = -7x + 14
7x + y = 17


Nomor 16.
Tentukan garis singgung parabola y = 4x - x² di titik M(1,3)
Dengan gradien garis singgung, y' = 4 - 2x untuk absis 1.
Diperoleh, m = 4 - 2(1) = 2

Persamaan garis singgung yang dimaksud:
y - 3 = 2 (x - 1)
y = 2x + 1

Yang mana garis singgung itu juga bersinggungan dengan y = x² - 6x + k
Dengan menentukan y' = 2x - 6 yang mana gradien garis singgungnya sama dengan y = 2x + 1 (gradien 2), maka gunakan y' = 2
2 = 2x - 6
2x = 8
x = 4

Dengan itu, pada garis singgung y = 2x + 1, nilai y = 9.
Titik singgung pada parabola y = x² - 6x + k adalah (4,9)

Substitusikan nilai tersebut:
9 = 4² - 6(4) + k
9 = 16 - 24 + k
9 = -8 + k
k = 17

Maka, nilai dari:
5 - √(k-1)
= 5 - √(17 - 1)
= 5 - √16
= 5 - 4
= 1