Question

Mając dane liczby -4 i 50 wyznacz takie x i y, aby liczby -4, x, y były trzema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby x, y, 50 były trzema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Answer 1

-4,x,y jest to c.arytm

x-(-4)=y-x

2x+4=y


x,y,50 jest to c.geom

y/x=50/y
y²=50x


mamy uklad
2x+4=y
y²=50x

2x+4=y
(2x+4)²=50x

2x+4=y
4x²+16x+16=50x

rozwiazmy drugie rownanie
4x²+16x+16=50x
4x²-34x+16=0 /:2
2x²-17x+8=0

delta=289-64=225
x₁=1/2
x₂=8

wracamydo ukladu
2x+4=y
x₁=1/2 x₂=8

2*1/2+4=y lub 2*8+4=y

y=5 lub y= 20

Answer 2

-4, x, y - tworzą ciąg arytmetyczny
x, y, 50 tworzą ciąg geometryczny
Korzystamy ze wzorów na związek między trzema kolejnymi wyrazami dla ciągu geometrycznego i arytmetycznego, układamy równania i rozwiązujemy układ równań
x=(y-4)/2
y²=50x

x=(y-4)/2 /*2
2x=y-4 zatem y=2x+4, wstawiamy do drugiego równania y²=50*x
(2x+4)²=50x
4x²+16x+16-50x=0
4x²-34x+16=0 /:2
2x²-17x+8=0
Δ=(-17)²-4*2*8=289-64=225, √Δ=±15
x₁=[17-15]/4=2/4=1/2
x₂=[17+15]/4=32/4=8

Zatem
dla x₁=1/2 mamy y₁=2*(1/2)+4=1+4=5
dla x₂=8 mamy y₂=2*8+4=16+4=20

Zatem mamy dwa rozwiązania x=1/2 i y=5 lub x=8 i y=20