Liczby zespolone. Obliczyć pierwiastek 6-go stopnia z -1.... Question from @Aaaallinnnkka

irenas $z^6=-1=-1+0i=cos\pi+i si\pi$

$z_1=cos{\frac{\pi}{6}}+i sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

$z_2=cos{\frac{\pi}{2}}+i sin{\frac{\pi}{2}}=i$

$z_3=cos{\frac{5}{6}\pi}+i sin{\frac{5}{6}\pi}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

$z_4=cos{\frac{7}{6}\pi}+i sin{\frac{7}{6}\pi}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

$z_5=cos{\frac{3}{2}\pi}+i sin{\frac{3}{2}\pi}=-i$

$z_6=cos{\frac{11}{6}\pi}+i sin{\frac{11}{6}\pi}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

0 votes Thanks 1

lesio100 To dobry przykład na działanie a argumentem liczby zespolonej.
Przedstawię rozwiązanie alternatywne, korzystając z wykładniczej postaci liczb zespolonych.

Dla przypomnienia $\bold e ^{i\pi} = -1$

Pierwszym pierwiastkiem będzie liczba której moduł jest równy pierwiastkowi szóstego stopnia z modułu liczby pierwiastkowanej, ... czyli 1, jednak jej argument będzie stanowił szóstą część argumentu liczby pierwiastkowanej.

$(-1) = 1 \cdot \bold e^{i\pi} \\\\ z_1= \left (1 \cdot \bold e^{i\pi} \right ) ^ \frac 16 = 1 \cdot \bold e^{\frac{i\pi}6} \right$

można to przedstawić w postaci trygonometrycznej :

$z_1 = 1 \cdot \left( cos(\pi /6) + i sin (\pi /6) \right)$

znając ( odnajdując ) wartości funkcji trygonometrycznych już łatwo przejść do sumy zespolonej :)

Kolejne pierwiastki będą stanowiły wraz z pierwszym, sześciokąt foremny na płaszczyźnie Gausa, inaczej po prostu do wartości argumentu pierwszego rozwiązania dodajemy jedną szóstą kąta pełnego

i tak :

$z_2 = 1 \cdot \bold e^{i(\frac{\pi}6 + \frac {2\pi}6 )} =1 \cdot \bold e^{ \frac {3i\pi}6 } = 1 \cdot \bold e^{ \frac {i\pi}2 } = 1 \cdot (cos({ \frac {\pi}2 })+isin({ \frac {\pi}2 }))$

$z_3 = 1 \cdot \bold e^{i(\frac{3\pi}6 + \frac {2\pi}6 )} =1 \cdot \bold e^{ \frac {5i\pi}6 } = 1 \cdot (cos({ \frac {5\pi}6 })+isin({ \frac {5\pi}6 }))$

$z_4 = 1 \cdot \bold e^{i(\frac{5\pi}6 + \frac {2\pi}6 )} =1 \cdot \bold e^{ \frac {7i\pi}6 } = 1 \cdot (cos({ \frac {7\pi}6 })+isin({ \frac {7\pi}6 }))$

$z_5 = 1 \cdot \bold e^{i(\frac{7\pi}6 + \frac {2\pi}6 )} =1 \cdot \bold e^{ \frac {3i\pi}2 } = 1 \cdot (cos({ \frac {3\pi}2 })+isin({ \frac {3\pi}2 }))$

$z_6 = 1 \cdot \bold e^{i(\frac{9\pi}6 + \frac {2\pi}6 )} =1 \cdot \bold e^{ \frac {11i\pi}6 } = 1 \cdot (cos({ \frac {11\pi}6 })+isin({ \frac {11\pi}6 }))$

W przypadku takiego zadania na kolokwium, polecam po prostu przedstawić rozwiązania tak:

$z = 1 \cdot e ^{i(\frac \pi6 + \frac {k\pi}3) \ \ \ \ k \in N$

Wykażesz się wtedy znajomością działania na argumencie liczby zespolonej.

1 votes Thanks 0

Ile to będzie e^(lnx)^2... wiem, że e i ln to funkcje odwrotne, ale co zrobić z tą potęgą?

Wyznaczyć liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru k. (Metodą Gaussa): x+ky+z=1 2x+y+z=k x+y+kz=k^2

Rozwiązać równanie: (z^2-i)(z^2-3i+4)=0

Obliczyć wartość wyrażenia. W drugim nawiasie jest (1-1/i)

Obliczyć równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni ln(x+y+z)+arctg y/x=pi/4 w punkcie A(-1,-1,3)

Napisać wyrażenie na stałą nietrwałości jonu akwaaminasrebra w r-rze wodnym.

Jak należy rozdzielić ładunek Q na dwie kulki, aby siła wzajemnego oddziaływania między kulkami była A. największa? B. najmniejsza? C. równa? Oblicz wartość tej siły.

Czy rzeczywiście sumaryczna masa produktów reakcji jest DOKŁADNIE równa masie substratów?

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą: x(t)=2cos^3t y(t)=2sin^3t t należy do przedziału <0; pi/2> Proszę o rozwiązanie krok po kroku.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social