Question

Kometa Halleya obiega Słońce po wydłużonej elipsie, której mimośród e=0,9673. Okres obiegu komety wokół Słońca jest równy 75,98 lat. Oblicz odległość komety Halleya od Słońca, gdy znajduje się ona w peryhellium i aphellium.

Proszę o wyjaśnienie.

W załączniku rysunek i potrzebne wzory

Answer 1

Z III prawa Keplera wynika, że stosunek  (gdzie: T – okres obiegu danego ciała wokół innego, a – średnia odległość obu tych ciał od siebie) jest stały dla wszystkich

orbit ciał krążących wokół tego samego ciała o dużej masie. Zatem:

 

 

Aby związek ten posłużył do wyznaczenia średniej odległości komety Halleya od Słońca należy wziąć pod uwagę ciało, którego charakterystykę dobrze znamy. Wtedy z równania:

 

 

z łatwością wyznaczyć będzie można średnią odległość komety od Słońca:

 

 

Wiadome jest, że Ziemia obiega Słońce w ciągu 1 roku i znajduje się w odległości 1 jednostki astronomicznej (1 j.a. = 149597870691 ± 30 m) od niego. Zatem:

 

 

Korzystamy teraz  z równania biegunowości elipsy:

gdzie: e – mimośród elipsy

 

Dla peryhelium i aphelium mamy odpowiednio kąt alfa równy 0° oraz 180°, więc otrzymamy dwa równania:

Zatem:

 

Odpowiedź: Odległość komety od Słońca wynosi 0,58 j.a., gdy znajduje się ona w peryhelium oraz 35,29 j.a., gdy znajduje się ona w aphelium.