Question

Kombinatoryka.

Proszę o przejrzyste rozwiązanie z użyciem odpowiednich wzorow.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych numerów telefonów, które spełniają łącznie następujące warunki:

a) pierwszą cyfrą jest 6 lub 8

b) druga cyfra oznacza liczbę pierwszą

c) cyfra czwarta oznacza liczbę mniejszą od 7

d) ostatnie trzy cyfry oznaczają trzy kolejne liczby nieparzyste (patrząc od lewej do prawej).

Answer 1

a)2*10*10*10*10*10*10=2000000

Na pierwszym miejscu może wystąpić cyfra ze zbioru {6,8} czyli mamy 2 możliwości, a na pozostałych możliwości jest 10, ponieważ możemy wybrać cyfrę ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 

b)10*4*10*10*10*10*10=4000000

Na drugim miejscu można ustawić tylko liczby pierwsze, czyli takie liczby naturalne, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. W tym przypadku są to liczby ze zbioru {2,3,5,7}. Mamy zatem cztery możliwości na drugim miejscu i po 10 możliwości na pozostałych

 

c)10*10*10*7*10*10*10=7000000

Na czwartym miejscu mamy 7 możliwości, ponieważ cyfr mniejszych od 7 jest 7: {0,1,2,3,4,5,6}. Na pozostałych analogicznie do poprzednich przykładów po 10 możliwości.

 

d)10*10*10*10*3*1*1=30000

Na pierwszych czterech miejscach 10 możliwości (cyfry 0-9). Na ostatnich trzech miejscach ustawiamy trzy kolejne cyfry nieparzyste. Możemy to zrobić na trzy sposoby: 135 lub 357 lub 579. Na 5 miejscu mamy zatem trzy możliwości {1,3,5}, na 6 i 7 miejscu mamy tylko po jednej możliwości, która uzależniona jest od cyfry na miejscu 5. Jeśli na miejscu 5 znajduje się cyfra 1 to dalej umieszczamy cyfrę 3 i następnie 5. Jeśli na miejscu 5 znajduje się cyfra 3 to na 6 i 7 miejscu znajdują się kolejno cyfry 5 i 7. Analogicznie jest z trzecią możliwością.

 

Liczba siedmiocyfrowych numerów spełniających łącznie wszystkie warunki zadania:

2*4*10*7*3*1*1=1680

 

Mam nadzieję, że wszystko jest przejrzyste ;) W razie pytań proszę pisać :)