Kilka Zadań dla matematyków ;)
Dodaję w załączniku, dam naj , proszę mi to wytłumaczyć bo zielony jestem.
Pozdrawiam.
3.10.
punkt styczności paraboli z osią X to jej wierzchołek W(p,q) czyli z postaci kanonicznej mamy:
3.11
A=(2, 1), B=(-4, 7) i wierzchłek na osi Y czyli W(0, q)
z postaci kanonicznej mamy:
3.12
W=(4, 6) czyli p = 4 i q = 6 oraz A=(1, 3)
3.14
w każdym przykładzie wystarczy policzyć p
a)
b).
c).
d).
e).
f).
3.15 wystarczy w każdym przykładzie policzyć q i m = q
a).
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
3.10.
punkt styczności paraboli z osią X to jej wierzchołek W(p,q) czyli z postaci kanonicznej mamy:
3.11
A=(2, 1), B=(-4, 7) i wierzchłek na osi Y czyli W(0, q)
z postaci kanonicznej mamy:
3.12
W=(4, 6) czyli p = 4 i q = 6 oraz A=(1, 3)
3.14
w każdym przykładzie wystarczy policzyć p
a)![y = x^2 + 4x + 5\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -2)\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-2, +\infty) y = x^2 + 4x + 5\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -2)\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-2, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+x%5E2+%2B+4x+%2B+5%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-4%7D%7B2%7D+%3D+-2%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+-2%29%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-2%2C+%2B%5Cinfty%29+)
b).![y = -2x^2 + 4x + 1\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-4} = 1\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, 1)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (1, +\infty) y = -2x^2 + 4x + 1\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-4} = 1\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, 1)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (1, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-2x%5E2+%2B+4x+%2B+1%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-4%7D%7B-4%7D+%3D+1%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+1%29%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%281%2C+%2B%5Cinfty%29+)
c).![y = -2x^2 - 12x - 20\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{-4} = -3\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, -3)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-3, +\infty) y = -2x^2 - 12x - 20\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{-4} = -3\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, -3)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-3, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-2x%5E2+-+12x+-+20%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B-4%7D+%3D+-3%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+-3%29%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-3%2C+%2B%5Cinfty%29+)
d).![y = \frac{1}{2}x^2 + x\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{1} = -1\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -1)\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-1, +\infty) y = \frac{1}{2}x^2 + x\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{1} = -1\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -1)\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-1, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2+%2B+x%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-1%7D%7B1%7D+%3D+-1%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+-1%29%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-1%2C+%2B%5Cinfty%29+)
e).![y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 2\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{-\frac{2}{3}} = -3\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, -3)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-3, +\infty) y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 2\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{-\frac{2}{3}} = -3\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-\infty, -3)\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-3, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E2+%2B+2x+-+2%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D+%3D+-3%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+-3%29%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-3%2C+%2B%5Cinfty%29+)
f).![y =\sqrt{2} x^2 + 4x + 2\sqrt{2} - 4\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -2\sqrt{2})\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-2\sqrt{2}, +\infty) y =\sqrt{2} x^2 + 4x + 2\sqrt{2} - 4\\ p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}\\ f\ maleje\ w\ przedziale\ (-\infty, -2\sqrt{2})\\ f\ rosnie\ w\ przedziale\ (-2\sqrt{2}, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D%5Csqrt%7B2%7D+x%5E2+%2B+4x+%2B+2%5Csqrt%7B2%7D+-+4%5C%5C+p+%3D+%5Cfrac%7B-b%7D%7B2a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-4%7D%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B-4%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D+%3D+-2%5Csqrt%7B2%7D%5C%5C+f%5C+maleje%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-%5Cinfty%2C+-2%5Csqrt%7B2%7D%29%5C%5C+f%5C+rosnie%5C+w%5C+przedziale%5C+%28-2%5Csqrt%7B2%7D%2C+%2B%5Cinfty%29+)
3.15 wystarczy w każdym przykładzie policzyć q i m = q
a).![y = -x^2 + 14x - 37\\ \Delta = 14^2 - 4(-1)(-37) = 196 - 148 = 48\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-48}{-4} = 12\\ m = 12 y = -x^2 + 14x - 37\\ \Delta = 14^2 - 4(-1)(-37) = 196 - 148 = 48\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-48}{-4} = 12\\ m = 12](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-x%5E2+%2B+14x+-+37%5C%5C+%5CDelta+%3D+14%5E2+-+4%28-1%29%28-37%29+%3D+196+-+148+%3D+48%5C%5C+q+%3D+%5Cfrac%7B-%5CDelta%7D%7B4a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-48%7D%7B-4%7D+%3D+12%5C%5C+m+%3D+12)
b).![y = x^2 + 10x + 21\\ \Delta = 10^2 - 4\cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-16}{4} = -4\\ m = -4 y = x^2 + 10x + 21\\ \Delta = 10^2 - 4\cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-16}{4} = -4\\ m = -4](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+x%5E2+%2B+10x+%2B+21%5C%5C+%5CDelta+%3D+10%5E2+-+4%5Ccdot+1+%5Ccdot+21+%3D+100+-+84+%3D+16%5C%5C+q+%3D+%5Cfrac%7B-%5CDelta%7D%7B4a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-16%7D%7B4%7D+%3D+-4%5C%5C+m+%3D+-4)
c).![y = -3x^2 - 4\sqrt{2} + 1\\ \Delta = 0^2 - 4(-3)(- 4\sqrt{2} + 1) = -4(12\sqrt{2} - 3) = (-48\sqrt{2} + 12)\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(-48\sqrt{2} + 12)}{-12} = \frac{48\sqrt{2} - 12}{-12} = -4\sqrt{2} + 1\\ m = -4\sqrt{2} + 1 y = -3x^2 - 4\sqrt{2} + 1\\ \Delta = 0^2 - 4(-3)(- 4\sqrt{2} + 1) = -4(12\sqrt{2} - 3) = (-48\sqrt{2} + 12)\\ q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(-48\sqrt{2} + 12)}{-12} = \frac{48\sqrt{2} - 12}{-12} = -4\sqrt{2} + 1\\ m = -4\sqrt{2} + 1](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+-3x%5E2+-+4%5Csqrt%7B2%7D+%2B+1%5C%5C+%5CDelta+%3D+0%5E2+-+4%28-3%29%28-+4%5Csqrt%7B2%7D+%2B+1%29+%3D+-4%2812%5Csqrt%7B2%7D+-+3%29+%3D+%28-48%5Csqrt%7B2%7D+%2B+12%29%5C%5C+q+%3D+%5Cfrac%7B-%5CDelta%7D%7B4a%7D+%3D+%5Cfrac%7B-%28-48%5Csqrt%7B2%7D+%2B+12%29%7D%7B-12%7D+%3D+%5Cfrac%7B48%5Csqrt%7B2%7D+-+12%7D%7B-12%7D+%3D+-4%5Csqrt%7B2%7D+%2B+1%5C%5C+m+%3D+-4%5Csqrt%7B2%7D+%2B+1)