Question

Zad.1.
81 kolekcjonerów monet otrzymało 3239monet. Wykaż,że nie można ich rozdzielić tak, aby każdy kolekcjoner otrzymał inną liczbę monet.

Zad.2.
Która liczba jest większa (¹/₅)⁴⁰ czy (²/₅)⁸⁰?
(jedna piąta do potęgi czterdziestej czy dwie piąte do osiemdziesiątej).Uzasadnij!!

Daje aż 100pkt! Postarajcie się!!;-)

Answer 1

Zad.1.
81 kolekcjonerów monet otrzymało 3239 monet. Wykaż,że nie można ich rozdzielić tak, aby każdy kolekcjoner otrzymał inną liczbę monet.

Aby dało się je tak rozdzielić musi ich być co najmniej
0 + 1 + 2 + 3 + ... + 80 = a
1 + 2 + 3 + ... + 80 = a
Wtedy rozdział jest banalny (w każdym innym przypadku też jest dobrze ponieważ to co jest ponad a dajemy ostatniemu).

a = (80 + 0)*81/2 = 80*81/2 = 40*81 = 3240

Ponieważ monet jest mniej niż a nie da się ich rozdzielić

Zad.2.
Która liczba jest większa (¹/₅)⁴⁰ czy (²/₅)⁸⁰?
(jedna piąta do potęgi czterdziestej czy dwie piąte do osiemdziesiątej).Uzasadnij!!

(²/₅)⁸⁰ - (¹/₅)⁴⁰ = (2*⅕)⁸⁰ - (¹/₅)⁴⁰ = 2⁸⁰ * (⅕)⁸⁰ - (¹/₅)⁴⁰= 2⁸⁰ * (¹/₅)⁴⁰ * (¹/₅)⁴⁰ - (¹/₅)⁴⁰ = (¹/₅)⁴⁰[2⁸⁰ * (¹/₅)⁴⁰ - 1] = (¹/₅)⁴⁰[(2²)⁴⁰ * (¹/₅)⁴⁰ - 1] = (¹/₅)⁴⁰[4⁴⁰ * (¹/₅)⁴⁰ - 1] = (¹/₅)⁴⁰[(⅘)⁴⁰ - 1]

Ponieważ (⅘)⁴⁰ < 1 na pewno (dowolna naturalna diodatnia potęga liczby < 1 jest <1)
to:
(⅘)⁴⁰ - 1 < 0
więc:
(¹/₅)⁴⁰[(⅘)⁴⁰ - 1] < 0

Stąd
(²/₅)⁸⁰ > (¹/₅)⁴⁰

jeżeli czegoś z tych wyliczeń nie rozumiesz pisz na pw

Answer 2

Spróbujmy dać każdemu kolekcjonerowi inną liczbę monet, ale tak, by wykorzystać jak najmniej monet...
Czyli dajemy i kolejno 0, 1, 2, ... 80 monet
W sumie rozdalibyśmy:
0 + 1 + 2 + ... + 80 =
= (0 + 80) + (1 + 79) + (2 + 78) + ... + (39 + 41) + 40 =
= 80 + 80 + 80 + ... + 80 + 40 =
= 40 * 80 + 40 = 40 * 81 = 3240
A my mamy tylko 3239 monet, czyli krótychś dwóch kolekcjonerów dostanie tyle samo..


(1/5) ^ 40 i (2/5) ^ 80


(1/5) ^ 40 = (5/25) ^ 40
(2/5) ^ 80 = ((2/5) ^ 2) ^ 40 =
= (4/25) ^ 40

Funkcja f(x) = x^40 jest rosnąca, zatem jeśli x1 < x2 to:
f(x1) < f(x2)
Czyli skoro 4/25 < 5/25 to f(4/25) < f(5/25)
czyli
(2/5)^80 = f(4/25) < f(5/25) = (1/5)^40