Question

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz zbiór wartości?

Proszę krok po kroku wszystko. W przeciwnym razie zgłoszę nadużycie.

Answer 1

Wszystko zależy od funkcji.

 

^- do kwadratu

 

Zacznijmy od dziedziny.

 

Dziedziną funkcji nazywamy wszystkie takie argumenty (iksy), dla których funkcja istnieje. Czyli:

- jeśli funkcja jest wielomianem, np. y=x. y=x^2, y=x^28-3x^20+28x^2+1, to ich dziedzinami są liczby rzeczywiste,

-jeśli funkcja jest ilorazem wielomianów, czyli np. funkcja homograficzna:

 

\

 

lub inne funkcje, które są ilorazem dwóch wielomianów, to dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem miejsc zerowych mianownika tej funkcji. Mówiąc prościej, wszystkie liczby oprócz takich, dla których ta funkcja nie istnieje (a wiadomo, że nie istnieje, gdy w mianowniku jest 0, bo nie można dzielić przez 0).

 

-jeśli funkcja jest funkcją trygonometryczną, to odczytujemy dziedzinę z funkcji. I tak sinusoida i cosinusoida mają dziedziny we wszystkich liczbach rzeczywistych, ale np. tangensoida ma dziedzinę we wszystkich liczbach rzeczywistych oprócz 1/2π+kπ, gdzie k - liczba całkowita.

 

-czasami można się spotkać z funkcją, która ma opisywać tylko zdarzenia mogące zajść dla liczb dodatnich, np. zwiększanie się ceny co miesiąc o 2 zł danego produktu. Wtedy dziedziną są tylko liczby rzeczywiste dodatnie.

 

 

 

Zbiór wartości

 

Zbiorem wartości funkcji nazywamy wszystkie liczby, które możemy otrzymać ze wzoru funkcji (to jest najprosztsza definicja). Zbiór wartości to inaczej przeciwdziedzina funkcji, a funkcja przyjmuje wartości tylko dla argumentów należących do jej dziedziny.

 

Zbiór wartości może być ograniczony lub nie. Jeśli jest nieograniczony, to znaczy, że tym zbiorem są wszystkie liczby rzeczywiste, całkowite, wymierne itp. Zależy, czy funkcja jest określona tylko na zbiorze np. liczb całkowitych, czy na zbiorze liczb rzeczywistych.

 

Nieograniczony jest ZAWSZE dla funkcji wielomianowych (nie dotyczy ilorazu wielomianów), wykresy funkcji tangens i cotangens itp.

 

Ograniczony jest dla takich funkcji, jak: iloraz wielomianów (asymptota pozioma), cosinusoida, sinusoida, gdy funkcja przyjmuje np. taką postać: funckja przyjmuje wartość 1 dla liczb wymiernych i 0 dla niewymiernych (wtedy zbiorem wartości jest tylko 0 i 1).