Question

Funkcja w jest określona wzorem w(x) = x3 - 5x2 + 5x -1

a) znajdź współrzędne punktów wspólnych funkcji w i osi odciętych

b) wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=w(x) - x3

Answer 1

W(x) = x^3 -5x^2 +5x -1

a)

W(1) = 1 -5 +5 - 1 = 0

zatem W(x) dzieli się przez x - 1

po podzieleniu otrzymamy

W(x) = (x^2 -4x + 1)*(x - 1)

Zajmę się x^2 -4x + 1

delta = (-4)^2 - 4*1*1 = 16 - 4 = 12 = 4*3

x = [ 4 - 2p3]/2 = 2 - p3

lub  x = [4 + 2p3]/2 = 2 +p3

czyli x^2 -4x + 1 = (x - 2 + p3)*(x - 2 - p3)

ostatecznie

W(x) = (x - 2 +p3)*(x -2 -p3)*(x - 1)

=================================

p3  <--- pierwiastek kwadratowy z 3

Punkty wspólne W(x)  i osi odciętych to:

2 -p3, 1, 2 + p3

==================

b)

f(x) = W(x) - x^3 = x^3 - 5x^2 +5x -1  - x^3 = -5x^2 + 5x - 1

p = -5/(2*(-5)) = 1/2

q = f(p) = f(1/2) = -5*(1/2)^2 + 5*(1/2) - 1 = -5*(1/4) +5/2 - 1 =

= -5/4 +3/2 = -5/4 + 6/4 = 1/4

a = -5 < 0    oraz  W =( 1/2 ; 1/4)

Zbiór wartości f  = ( - nieskończoność  ;  1/4 >