Question

1. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0) B=(3,0) C= Wyznacz miary kątów trójkąta ABC

2. Proste y=x-4 i y=3x-4 zawierają dwa boki trójkąta prostokątnego. Znajdź współrzędne wierzchołka kąta prostego tego trójkąta wiedząc, że prosta zawierająca trzeci bok przechodzi przez punkt K=(3,1)

Answer 1

Obliczamy kwadraty długości boków:

I AB I^2 = (3 -(-1))^2 + (0-0)^2 = 4^2 = 16

I AB I = 4

I BC I^2 = (2 -3)^2 + (p(3) - 0)^2 = (-1)^2 + ( p(3))^2 = 1 + 3 = 4

I BC I = 2

I AC I^2 = (2 - (-1))^2 + (p(3) - 0)^2 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12

I AC I = 2 p(3)

Ponieważ I AB I^2 = I BC I^2 + I AC I^2

zatem trójkąt ABC jest prostokątny.

Kąt ACB jest prosty.

alfa = I < BAC I

tg alfa = 2/ 2 p(3) = 1/ p(3)

alfa = 30 stopni

beta = I < ABC I

beta = 90 stopni - alfa = 60 stopni.

===================================

z.2

y = x - 4

y = 3x - 4

K = (3; 1)

Przez punkt K prowadzimy prostą prostopadłą do prostej o równaniu

y = x - 4

1*a1 = - 1, zatem  a1 = - 1

y = -1x +b

1 = - 3 + b

b = 1 = 3 = 4

y = -x + 4

============

Szukam punktu przecięcia się  tych prostych.

y = x - 4   oraz  y = - x + 4

x - 4 = - x + 4

2x = 8

x = 4

y = 4 - 4 = 0

C1 = ( 4; 0)  - wierzchołek kąta prostego

===========

Przez punkt K = (3; 1) prowadzimy prostą prostopadłą do prostej

o równaniu

y = 3x - 4

3*a2 = - 1

zatem  a2 = -1/3

y = (-1/3) x + b2

1 = (-1/3)*3 + b2

1 = -1 + b2

b2 = 1 + 1 = 2

y = (-1/3) x + 2

=================

Szukam punktu przecięcia sie tych prostych:

y = 3x - 4  oraz  y = (-1/3) x + 2

3x - 4 = (-1/3) x + 2  / * 3

9x - 12 = - x + 6

10x = 18

x = 1,8

y = 3*1,8 - 4 = 5,4 - 4 = 1,4

C2 = ( 1,8; 1,4 )  -  wierzchołek kąta prostego

Odp. Zadanie ma dwa rozwiązania: C1 = ( 4; 0)  oraz C2 = ( 1,8 ; 1,4 )

===============================================================