Question

Funkcja kwadratowa

a) f(x)=3x²-6x

b) -3x²+8x-4

a)Oblicz miejsce zerowe, o ile są i współrzędne wierzchołka paraboli

b)wyznacz współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią Y

c)podaj postać kononiczną i iloczynową

d)wyznacz zbiór wartości funkcji

e)określ przedziały motoniczności funkcji

Answer 1

1.

f(x) = 3x²-6x

a)

3x²-6x = 0

a = 3,  b = -6,  c = 0

3x(x-2) = 0

3x = 0      v     x-2 = 0

x = 0        v     x = 2

MZ: 0;2

======

W=(p;q) - współrzędne wierzchołka paraboli

p = -b/2a = -(-6)/6 = 1

q = -(b²-4ac)/4a = -36/12 = -3

W=(1; -3)

========

b)

x = 0

f(0) = 3*0-6*0 = 0

P=(0;0)

c)

f(x) = a(x-p)²+q    - postać kanoniczna

p  = 1

q = -3

f(x) = 3(x-1)²-3    - postać kanoniczna 

=============

f(x) = a(x-x1)(x-x2)  - postać iloczynowa

f(x) = 3x(x-2)    - postać iloczynowa

===========

d)

a = 3 > 0

q = -3

ZW= <q;+∞)

ZW: <-3;+∞)

e)

Funkcja rosnąca dla x ∈(1;+∞), malejąca dla x ∈<-∞;1)

 

2.

f(x) = -3x²+8x-4

a)

-3x²+8x-4 = 0

a = -3,  b = 8,  c = -4

Δ = b²-4ac = 64-48 = 16

√Δ = 4

x1 = (-b-√Δ)/2a = (-8-4/(-6) = 2

x2 = (-b+√Δ)/2a = (-8+4)/(-6) = -4/(-6) = 2/3

MZ: 2/3; 2

==========

W=(p;q)

p = -b/2a = -8/(-6) = 4/3

q = -Δ/4a = -16/(-12) = 4/3

W(4/3; 4/3)

==========

b)  Punkt przeciecia z osią OY (x = 0)

f(0) = -3*0+4*0-4 = -4

P=(0;-4)

c)

f(x) = a(x-p)²+q

f(x) = -3(x-⁴/₃)²+4/3   - postać kanoniczna

==================

f(x) = a(x-x1)(x-x2)  - postać iloczynowa

f(x) = -3(x-2)(x-⅔)   - postać iloczynowa

================

d)

a = -3  < 0, ramiona paraboli skierowane wdół

ZW: (-∞;q>

ZW: (-∞;⁴/3>

e)

Funkcja rosnąca dla x ∈(-∞; ⁴/₃) ,  malejąca dla x ∈(⁴/₃;+∞)

Answer 2

 

f(x) = 3 x^2 - 6 x

a)

f(x) = 3x*( x - 2) = 0 <=> x = 0  lub x = 2

Miejsca zerowe to: 0  i   2

----------------------------------

p = [ 0 + 2]/2 = 1

q = f(1) = 3*1^2 - 6*1 = 3 - 6 = - 3

W = ( p; q ) = ( 1; - 3)  wierzchołek paraboli

--------------------------

lub 

p = - b/(2a) = 6/(2*3) = 6/6 = 1

delta = b^2 - 4ac = ( -6)^2 - 4*3*0 = 36

q = - delta/ (4a) = - 36/( 4*3) = - 36/12 = - 3

W = ( 1; - 3)

==============

b)

Dla x = 0   f(0) = 3*0^2 - 6*0 = 0

P = ( 0;0) -  punkt przecięcia  paraboli z osią OY

c)

a = 3,  p = 1,  q = - 3

zatem

f(x) = a*( x - p)^2 + q

f(x) = 3*( x - 1)^2 - 3  - postać kanoniczna

-------------------------------------------------------

f(x) = a*(x - x1)*(x - x2)

gdzie x1 = 0,  x2 = 2   - miejsca zerowe

f(x) = 3*( x - 0)*(x - 2) = 3 x *( x - 2)  - postać iloczynowa

---------------------------------------------------------------------

d)  a = 3 > 0    zatem zbiór wartości funkcji f

ZW = < q; + oo) = < -3; + oo)

---------------------------------------------

e)   a = 3 > 0 , zatem 

dla x < p = 1  funkcja f  jest malejaca, a dla x > 1  funkcja jest rosnąca.

( -oo; 1 )  - f. maleje

(1; + oo ) - f.  rośnie

=============================

f(x) = - 3 x^2 + 8 x + 4

a)

a = -3,  b = 8,  c = - 4

delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4*(-3)*(-4) = 64 - 48 = 16

p (delty) = 4

x1 = [ - b + p(delty)]/(2a) = [ - 8 + 4]/( -6) = -4/( -6) = 2/3

x2 = [ - b - p(delty)]/( 2a) = [ - 8 - 4]/( -6) = -12/( -6) = 2

x1, x2  - miejsca zerowe funkcji f

------------------------------------------

p = -b/(2a) = -8/( - 6 ) =  4/3

q = - delta/ (4a) = -16/( -12) = 4/3

W = ( p; q ) = (  4/3 ; 4/3 )  - wierzchołek paraboli

---------------------------------------------------------------------

b)

Dla x = 0 mamy  f(0) = -3*0^2 + 8*0 - 4 = - 4

P = ( 0; - 4)  - punkt przecięcia wykresu z osią OY

----------------------------------------------------------------

c)

f(x) = a*(x - p)^2 + q

czyli

f(x) = -3*( x  - 4/3)^2  + 4/3    - postać kanoniczna funkcji f

-----------------------------------

f(x) = a*(x -x1)*(x - x2)

czyli

f(x) = - 3*( x - 2/3)*( x - 2)    - postać iloczynowa funkcji f

-----------------------------------------

d) a = - 3 < 0 , zatem zbiór wartości funkcji ZW = ( - oo;  q >

czyli

ZW = ( - oo; 4/3 >

----------------------------

e)

a < 0  zatem  dla x < p = 4/3  funkcja jest rosnąca, a dla x > 4/3  funkcja jest

malejąca

( - oo; 4/3 )  - f.  rosnie

( 4/3; + oo )  - f.  maleje

==============================