Question

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x^2– 3kx + 1,5k – 0,25.
a) Wyznacz k tak, aby wykres funkcji f był symetryczny względem osi OY. Dla wyznaczonej liczby k, oblicz miejsca zerowe funkcji f.
b) Wykaż, że dla każdej liczby k funkcja f ma miejsca zerowe. Dla jakich liczb k funkcja ma jedno miejsce zerowe?
c)Dla k=1 wyznacz zbiór wartości funkcji f.

Answer 1

a)Jeżeli funkcja kwadratowa ma być symetryczna względem osi OY, zatem jej wierzchołek musi być na osi OY. Zatem wierzchołek jest dla x=0. Z góry zakładając że nie znasz pochodnych....

czyli rozwiązując dalej k=0.

Obliczmy miejsca zerowe. Wstawmy w ogólnym wzorze za k -> 0

otrzymujemy

przyrównujemy do zera aby obliczyć miejsca zerowe. dla k=0

i otrzymujemy dwa wyniki

x=0,5 lub x=-0,5 - to są te miejsca zerowe

b)Aby obliczyć czy funkcja ma miesjca zerowe należy obliczyć deltę. Jeżeli jest ona większa lub równa od zera to ma miejsca zerowe

Całość po lewej stronie jest do kwadratu zatem dla dowolnego k fukcja ma miesjca zerowe. Funkcja ma miejsce zerowe dla delty równej zero. Teraz zamiast znaku większe bądź równe stawiamy równa się i wyliczamy k

otrzymujemy 3k-1=0

3k=1

k=1/3

c)Wstawiamy za k=1. I znów liczymy xw

 

za teraz za x wstawiamy 3/2 i liczymy wartość funkcji

po obliczeniach wychodzi y=-1. Narysujmy sobie wykres tej funkcji i zobaczymy że ramiona paraboli są w nieskończoności. Zatem zbiór wartości funkcji wynosi