Question

Funkcja kwadratowa f(x)= -x2 + bx + c przyjmuje wartości dodatnie wtedy i wtedy, gdy x należy (-6,2). Wyznacz wzór funkcji f a następnie rozwiaż równanie f(x-1) = f(2)

Answer 1

f(x) = - x^2 + bx + c

Mamy

x1 = -6   oraz  x2 = 2

zatem

p = ( x1 +x2)/2 = ( - 6 + 2 )/2 = -4/2 = -2

czyli

f(x) = - ( x + 2)^2 + q

---------------------------

f(x1) = 0

f( -6 ) = 0

zatem

- ( -6 + 2)^2 + q = 0

- 16 + q = 0

q = 16

zatem

f(x) = - ( x +2)^2 + 16    - postać  kanoniczna

=============================================

f(x -1) = - ( x -1 +2)^2 + 16 = - (x+1)^2 + 16

f(2) = - (2 +2)^2 + 16 = - 16 + 16 = 0

zatem

f(x -1) = f(2)  można zapisać jako

-(x + 1)^2 + 16 = 0

(x +1)^2 =  16

x+1 =  -4  lub  x + 1  = 4

x = -4 -1 = - 5    lub  x = 4 - 1 = 3

Odp. x1 = - 5,  x2 =  3

=========================

Answer 2

f(x)= -x² + bx + c przyjmuje wartości ⇔ x ∈ (-6, 2)

Z podanych informacji wynika, że miejscami zerowymi danej funkcji są liczby:

x₁ = - 6 i x₂ = 2 oraz współczynnik a  = - 1.

Współczynniki b i c można wyliczyć wstawiając te liczby do wzoru postaci iloczynowej f(x) = a·(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ są miejscami zerowymi.

Zatem

f(x) = -1· (x + 6)(x - 2) = (-x - 6)(x - 2) = -x² + 2x - 6x + 12 = -x² - 4x + 12

czyli funkcja f ma wzór w postaci ogólnej: f(x) = -x² - 4x + 12

 

 

Rozwiaż równanie f(x-1) = f(2)

f(x - 1) = - (x - 1)² - 4·(x - 1) + 12 = -(x² - 2x + 1) - 4x + 4 = - x² + 2x - 1 - 4x + 4 + 12 = -x² - 2x + 15

f(2) = - 2² - 4·2 + 12 = - 4 - 8 + 12 = 0

-x² - 2x + 15 = 0

Δ = 4 + 60 = 64; √Δ = 8

Rzowiązaniem równaniem są liczby x₁ = 3 i x₂ = - 5