Question

Dla jakich wartości parametru podane obok liczby są pierwiastkami wielomianu?

W(x)=x³+mx²+3x+10, 5

W(x)=ax³+bx²+cx+6, 2 i 3 i (-½)

Answer 1

Więc w pierwszym przykładzie należy po prostu przyjąć, że:

W(x) = 0, dla x=5. Wyliczyć z tego m. Mamy:

125 + 25m + 15 + 10 = 0

25m + 150 = 0

25m = -150

m = -6.

WIELOMIAN TEN BĘDZIE MIAŁ RÓWNIEŻ INNE PIERWIASTKI, CHOĆ PIĄTKA BĘDZIE JEGO PIERWIASTKIEM. W ZADANIU NIE NAPISANO, ŻE TYLKO PIĄTKA MA BYĆ TYM PIERWIASTKIEM.

W drugim przykładzie trzeba skorzystać ze wzorów Viete'a dla wielomianów stopnia trzeciego. Przyjmijmy, że x₁, x₂, x₃ to pierwiastki wielomianu. Prawdziwy jest więc układ równań dla wielomianu W(x)=ax³+bx²+cx+d :

Jak nam wiadomo pierwiastkami są 2, 3, -0,5. więc x₁=2, x₂=3, x₃=-0,5. Również z wielomianu W(x) wiadomo że wyrazem wolnym jest 6, więc d=6. Podstawiając otrzymujemy:

Mnożąc każdy wiersz przez a, otrzymamy układ:

Z ostatniego dzieląc obustronnie przez -3 otrzymujemy, że a=2.

Licząc c otrzymamy że c=3,5 * 2 = 7, natomiast b=-4,5*2 = -9. Zatem wartości parametrów a, b, c to:

Powstaje wielomian W(x)=2x³-9x²+7x+6.