Question

Dla jakich wartości parametru k ciąg o wyrazie ogólnym:

(k−2)n+1

an = ----------------

(k2−2k−3)n−2


a) jest zbieżny do 0

b) jest zbieżny do 1

c) jest rozbieżny do +∞

d) jest rozbieżny do −∞

e) jest zbieżny do liczby a ∈ (2,10) ?


Prosze mi to jakos wytłumaczyc ;]

Answer 1

a)  Dla k = 2

mamy

an = 1/[ (4 - 4 - 3) n - 2 ] = 1/ [ - 3n - 2]

lim an = 0 , bo  ( - 3n - 2 ) ---> - oo

n --> +oo

============

c)

k^2 - 2 k - 3 = ( k + 1)*(k - 3)

Dla k = - 1 

------------

mamy

an = ( - n + 1)/ [ - 2) = 0,5 n  - 0,5

zatem

lim an = + oo

n--> +oo

-----------------------------

b)

an = [ k -2 + 1/n ] / [(k^2 -2 k - 3) - 2/n ]

1/ n ---> 0   oraz  -2/ n   --> 0  , gdy n --> +oo

zatem

( k -2) / [ k^2 - 2 k - 3 ] = 1

czyli

k -2 = k^2 - 2k - 3

k^2 - 3 k - 1 = 0

--------------------

delta = (-3)^2 - 4*1*(-1) = 9 + 4 = 13

p(delty ) = p(13)

k = [ 3 - p(13)]/2   lub   k = [ 3 + p(13)]/2

=====================================

d)

Dla k = 3 

-------------

mamy

an = ( n + 1) / ( - 2) = -0,5 n - 0,5

lim an = - oo

n --> +oo

=====================

e)

 

an = [ k -2 + 1/n ] / [ k^2 -2 k - 3  - 2/n ]

lim an = ( k -2) /( k^2 - 2 k - 3)  =  a ,  dla k  różnych od  (-1)  i  od 3

n --> + oo

Ma być  2 < a  <  10

czyli

(k -2) /( k^2 - 2 k - 3)  > 2     i   ( k -2) / ( k^2 - 2 k - 3 ) < 10

1)

( k - 2) / ( k^2 - 2 k - 3) > 2

k - 2 > 2 k^2 - 4 k - 6

0 > 2 k^2 - 5 k - 4

2 k^2 - 5 k - 4 < 0

-----------------------

delta = (-5)^2 - 4*2*(-4) = 25 + 32 = 57

p ( delty) = p(57)

k1 = [ 5 - p(57)]/4  = około ( - 0,64 )

k2 = [ 5 + p(57)]/4 = około  3,14

k  należy do ( k1; k2) \ { 3 }

==================================

2)

 

( k -2)/  ( k^2 - 2 k - 3)  < 10

k -2 < 10 k^2 - 20 k - 30

10 k^2 - 21 k - 28  > 0

-----------------------------

delta = (-21)^2 - 4*10*(-28) = 441 + 1120 = 1561

p(delty) = p(1561)

k3 = [ 21 - p(1561)]/20  = około  ( - 0,93 )

k4 = [ 21 + p(1561)]/20 = około     3,03

zatem

k  należy do ( -oo; k3 ) u ( k4 ; + oo )

---------------------------------------------

Należy teraz wziąć iloczyn tych zbiorów:

 Zatem

k należy do  (k4; k2)

Odp.

k należy do  ([21+ p(1561)]/20; [5+ p(57)]/4 )

==============================================