Question

Dany jest w R³ zbiór punktów P(x, y, z) takich, że 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1.

Z odcinków x, y, z można zbudować trójkąt. Jaka będzie objętość bryły, składającej się z tych punktów?

Answer 1

mam problem bo nie wiem jak to wytlumaczyc, bo nie mam narzedzi, do narysowania tego tak aby bylo widac, ale sprobuje opisac, moze narysowanie sobie na karce tego co ponizej pomoze rozwiazac

Rozpatruje szescian szescian ABCDEFGH. Punkty wybralem nastepujaco:
A(0,0,0) , gdzie kolejne wspolrzedne to (x,y,z)
B(1,0,0)
C(1,0,1)
D(0,0,1)
E(0,1,0)
F(1,1,0)
G(1,1,1)
H(0,1,1)

Nalezy (i wystarczy) znalezc trzy grupy punktow (kazda grupa tworzy jaka bryle)
1. takie, ze z > x + y
2. takie, ze x > y +z
3. takie, ze y > x + z
Te punkty nie moga nalezec do szukanej bryly, poniewaz trzeci bok trojkata nie moze byc dluzszy niz suma dwoch pozostalych. Zatem aby obliczyc objetosc szukanej bryly, od calego szesciokata nalezy odjac sume objetosci 1, 2, 3.

Aby znalezc bryle dla punku 1, nalezy narysowac plaszczyze z = x + y. Podzieli ona wnetrze szescianu na dwie bryly: taka dla ktorej zachodzi z < x + y i taka, dla ktorej zachodzi z > x + y. Inreresujaca jest ta druga. Zatem:
plaszyzna z = x + y przechodzi przez punkty A, C, H. Bryla, dla ktorej spelnione jest z > x + y to ostroslup ACHD (w punkcie D zachodzi z > x + y bo D ma wpolrzedne (0,0,1) i 1 > 0 + 0)
Objetosc tego ostroslupa liczy sie latwo bo 3 jego krawedzie sa wzajemnie prostopadle i maja dlugosc a.
Zatem jest to: Pole trojkata ACD = a*a / 2 a pole ostroslupa = pole trojka ACD * DH (wysokosc) / 3
Zatem bedzie to a * a / 2 * a / 3 = (a^3) / 6

Zatem objetosc bryly z pkt 1 to (a^3)/6

Bryly w pkt 2 i 3 sa podobne.
W Pkt 2 rozpatruje sie plaszczycne x > y +z zatem bedzie to ostroslup ACFB, jego objetosc to (a^3)/6 - liczy sie tak samo jak w pkt 1.
W pkt 3 rozpatruje sie plaszczycne y > x +z zatem bedzie to ostroslup AFHE, jego objetosc to (a^3)/6 - liczy sie tak samo jak w pkt 1 i 2.

Objetosc bryly z zadania to objetosc szescianu (a^3) minus objetosc trzech ostroslupow o objetosci (a^3) / 6 kazdy, wiec

a^3 - 3 * 1/6 a^3 = 1/2 a^3