Question

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Punkt M jest środkiem boku BC, odcinki BE i CF są wysokościami tego trójkąta i . Oblicz miarę kąta EMF

Answer 1

ΔABC - trójkąt ostrokątny

M - środek boku BC

BE, CF - wysokości trójkąta

|∢BAC| = α

|∢EMF| = ?

 

Punkt M jest środkiem boku BC, czyli |BM| = |CM|.

Punkt M jest także środkiem okręgu opisanego na trójkątach prostokątnych BFC i BEC, bo to środek przeciwprostokątnej tych trókątów. Zatem:

|BM| = |CM| = |EM| = |FM|

Stąd wynika, że trójkąty BMF i CME są to trójkąty równoramienne.

ΔBMF

|BM| = |FM|, czyli |∢BFM| = |∢FBM|.

Stąd: |∢BMF| = 180° - |∢BFM| - |∢FBM| = 180° - |∢FBM| - |∢FBM| = 180° - 2·|∢FBM|

|∢FBM| = |∢ABC|, Zatem:

|∢BMF| = 180° - 2 · |∢ABC|

ΔCME

|CM| = |EM|, czyli |∢CEM| = |∢ECM|.

Stąd: |∢CME| = 180° - |∢CEM| - |∢ECM| = 180° - |∢ECM| - |∢ECM| = 180° - 2·|∢ECM|

|∢ECM| = |∢ACB|, Zatem:

|∢CME| = 180° - 2 · |∢ACB|

 

Kąty BMF, EMF i CME to kąty przyległe, więc ich suma wynosi 180°, stąd:

|∢EMF| = 180° - |∢BMF| - |∢CME|

|∢EMF| = 180° - (180° - 2 · |∢ABC|) - (180° - 2 · |∢ACB|)

|∢EMF| = 180° - 180° + 2 · |∢ABC| - 180° + 2 · |∢ACB|

|∢EMF| = 2 · |∢ABC| + 2 · |∢ACB| - 180°

|∢EMF| = 2 · (|∢ABC| + |∢ACB|) - 180°

 

Wiemy, że: |∢BAC| + |∢ABC| + |∢ACB| = 180°, czyli

|∢ABC| + |∢ACB| = 180° - |∢BAC|. Zatem:

 

|∢EMF| = 2 · (180° - |∢BAC|) - 180°

|∢EMF| = 360° - 2 · |∢BAC| - 180°

|∢EMF| = 180° - 2 · |∢BAC|

Z zał. |∢BAC| = α, stąd:

|∢EMF| = 180° - 2 · α

 

Odp. |∢EMF| = 180° - 2α