Question

Dany jest trójkąt o obwodzie 2p i kątach wewnętrznych . Wtedy jego pole S wyraża się wzorem
a) S=

b) S=

c) S=

?? proszę o pomoc. która odpowiedź i dlaczego ...

Answer 1

Rysujesz trójkąt ABC i okrąg wpisany w ten trójkąt. Kąty przy wierzchołkach A,B,C niech będą odpowiednio \alpha,\beta,\gamma. Oznaczasz promień okręgu r (rysujesz wszystkie trzy promienie do boków), zaś odcinki łączące wierchołki A,B,C z punktami styczności z okręgiem odpowiednio a,b,c. Z Najmocniejszego Twierdzenia Geometrii odcinki łączące dany wierzchołek z punktami stydczności są równe. Tak więc oznaczenia dookoła trójkąta poczynając od wierzchołka A powinny wyglądać tak: a,b,b,c,c,a. Widać stąd, że a+b+c=p.

Odcinki łączące wierzchołki ze środkiem okręgu są dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta. Wynika stąd, że
\frac{a}{r}=ctg\frac{\alpha}{2}

\frac{b}{r}=ctg\frac{\beta}{2}

\frac{c}{r}=ctg\frac{\gamma}{2}

Każde z powyższych równań mnożysz stronami przez r, następnie dodajesz je stronami. Po lewej stronie otrzymujesz a+b+c=p, po prawej natomiast r*(ctg\frac{\alpha}{2}+ctg\frac{\beta}{2}+ctg\frac{\gamma}{2}). Wyliczasz z tego r w zależności od p,\alpha,\beta,\gamma, przekształcasz jeśli potrzeba (ale raczej nie potrzeba - p w liczniku, suma cotangensów połówek kątów w mianowniku).

Wiadomo, że pole trójkąta wynosi P=p*r, gdzie r to promień okręgu wpisanego, zaś p to połowa obwodu (czyli idealnie tak jak w zadaniu). W takim razie pole tego trójkąta wynosi wyliczone uprzednio r pomnożone jeszcze przez p. Wynika z tego, że prawidłowa odpowiedź to b), jeśli dobrze się domyślam, co tam powinno być :)

Mam nadzieję, że moja odpowiedź okaże się pomocna.

Pozdrawiam

jglaalgb

 

PS. Dobrze że nie dawałem za dużo tych równaniowych znaczków, bo widocznie jeszcze nie umiem z nich korzystać :P Pewnie niedługo się nauczę. Liczę że nie przeszkodzi to w zrozumieniu rozwiązania.