Question

Dany jest okrąg o środku P(2,0) i promieniu 5.Oblicz długość cięciwy powstałej przez przecięcie tego okręgu prostą l.

a)l:y=4 b) l:y=-3 c)l:x=-1 d)l:x=0

prosze o szybka pomoc:)

Answer 1

P = (2; 0)

r = 5

Równanie okręgu:

( x -2)^ + ( y - 0)^2 = 5^2

(x - 2)^2 + y^2 = 25

-----------------------

a)

y = 4

x^2 - 4x + 4 + 4^2 = 25

x^2 - 4x + 20 - 25 = 0

x^2 - 4x - 5 = 0

=============

delta = (-4)^2 - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36

p ( delty) = 6

x = [ 4 - 6)/2 = -2/2 = - 1

lub   x = [ 4 + 6]/2   =   5

y = 4

Zatem mamy dwa punkty

A = ( -1; 4)   i   B = ( 5; 4)

Długość cięciwy  AB:

I AB I^2 = ( 5 -(-1))^2 + ( 4 - 4)^2 = 6^2 = 36

I AB I = 6

=========

Lub krócej

I AB I = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6

===========================================================

b)

( x -2)^2 + y^2 = 25

oraz  y = - 3

zatem

x^2 - 4x + 4 +(-3)^2 = 25

x^2 - 4x - 12 = 0

=============

delta = (-4)^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64

p (delty) = 8

x = [ 4 - 8]/2 = -4/2 = - 2

lub  x =  [ 4 + 8 ] /2 =  6

oraz  y = - 3

Mamy dwa punkty: C = (-2; -3)  oraz  D = ( 6 ; -3)

Długość cięciwy CD

I CD I = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8

========================

c)

x^2 - 4x + 4 + y^2 = 25

oraz   x = - 1

zatem mamy

(-1)^2 - 4*(-1) + 4 + y^2 = 25

1 + 4 + 4 + y^2 = 25

y^2 = 25 - 9 = 16

y = - 4  lub    y = 4

Mamy punkty:  E = ( -1; -4)    i    F = ( -1; 4)

Długość cięciwy EF

I EF I = 4 - ( -4) = 4 + 4 = 8

===========================

d)

x^2 - 4x + 4 + y^2 = 25

x = 0

zatem mamy

0^2 -4*0 + 4 + y^2 = 25

y^2 = 25 - 4 = 21

y = - p(21)   oraz    y = p(21)

Mamy zatem punkty G = ( 0; - p(21) )    i  H = ( 0;  p(21) )

Długość cięciwy GH

I GH I = p(21) - ( - p(21)) = p(21) + p(21) = 2 p(21)

===============================================

p(21)  - pierwiastek kwadratowy z 21